Voir la source de Arc cosinus

{{Voir homonymes|Arccos}}
{{Infobox Fonction mathématique
 | nom = Fonction arc cosinus
 | image = Arccos, cos, and identity.svg
 | légende = Représentation graphique (dans un repère non [[Vecteur unitaire|normé]]).
 | notation = <math>\arccos(x)</math>
 | réciproque = <math>\cos(x)</math> sur [0 ; π]
 | dérivée = <math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 | primitives = <math>x\, \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C</math>
 | ensemble de définition = [−1 ; 1]
 | ensemble image = [0 ; π]
 | parité = 
 | périodicité = 
 | zéro = 
 | plusinf = 
 | moinsinf = 
 | maxima = 
 | minima = 
 | asymptotes = 
 | zéros = 
 | points critiques = 
 | points d'inflexion = 
 | points fixes = 
}}

En [[mathématiques]], l’'''arc cosinus''' d'un [[nombre réel]] compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'[[angle]] dont le [[cosinus]] vaut ce nombre, entre l'[[angle nul]] (0° ou 0 rad) et l'[[angle plat]] (180° ou <math>\pi</math> rad).

La [[fonction (mathématiques)|fonction]] qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en [[radian]]s est notée <math>\arccos</math> (<math>\operatorname{Arccos}</math><ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles|sous-titre=Filière : scientifique (MPSI)|pages totales=35|passage=10|lire en ligne=https://www.education.gouv.fr/sites/default/files/imported_files/document/programme-MPSI_252456.pdf|accès url=libre|format électronique=pdf|consulté le=2024-06-05|titre chapitre=Techniques fondamentales de calcul en analyse}}</ref> ou <math>\operatorname{Acos}</math> en notation française, et <math>\cos^{-1}</math>, parfois <math>\operatorname{acos}</math> ou <math>\operatorname{acs}</math> , en notation anglo-saxonne). 

Il s'agit alors de la [[Bijection réciproque|réciproque]] de la [[fonction trigonométrique]] cosinus sur l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] <math>[0;\pi]</math> donc, dans un [[repère cartésien]] [[Base orthonormée|orthonormé]] du plan, la [[courbe représentative]] de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la [[Réflexion (mathématiques)|symétrie]] d'axe la droite d'équation <math>y=x</math>.

== Définition ==
La fonction <math>\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]</math> est définie comme la [[fonction réciproque]] de <math>\cos</math> sur <math>[0,\pi]</math>, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

<math display="block">\forall x \in [0, \pi]\quad\arccos(\cos x) = x.</math>

== Propriétés ==

=== Relations trigonométriques ===

==== Non-parité ====
Contrairement aux fonctions [[arc sinus]] et [[arc tangente]], la fonction <math>\arccos</math> n'admet aucune [[Parité d'une fonction|parité]]. En revanche, elle possède la propriété suivante{{sfn|Abramowitz|Stegun|p=80|loc=4.4.15}} :
<math display="block">\forall x \in [-1, 1]\quad\arccos(-x) = \pi - \arccos x.</math>

==== Relation avec le sinus ====
Pour <math>X=\arccos x</math>, on a <math>\sin X\ge0</math> (car <math>X\in[0,\pi]</math>) et <math>\cos^2X+\sin^2X=1</math>, donc{{Référence souhaitée|date=4 juillet 2024}} :
<math display="block">\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.</math>

==== « Inversion » des formules trigonométriques ====
Partant de n'importe quelle [[formule trigonométrique]], on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des [[Restriction (mathématiques)|intervalles restreints]]. Par exemple, puisque <math>\cos 2x=2\cos^2x-1</math>, on a <math> \arccos\left(2X^2-1\right)=2\arccos X</math>, mais seulement pour <math>X\in[0,1]</math>{{Référence souhaitée|date=4 juillet 2024}}.

===Dérivée===
Comme [[dérivée]] d'une fonction réciproque, <math>\arccos</math> est dérivable sur <math>]-1;1[</math> et vérifie{{sfn|Abramowitz|Stegun|p=82|loc=4.4.53}} :
<math display="block"> \arccos'x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la [[Opérations sur les dérivées#Bijection réciproque|dérivée d'une fonction réciproque]] et à la relation avec le [[Sinus (mathématiques)|sinus]] {{Supra|Relation avec le sinus}}.

=== Forme intégrale indéfinie ===
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une [[intégrale indéfinie]]{{sfn|Abramowitz|Stegun|p=79|loc=4.4.2}} :
<math display="block">\arccos x=\int_1^x-\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t.</math>

=== Primitives ===
Les [[primitive]]s de la fonction <math>\arccos</math> s'obtiennent par [[intégration par parties]]{{sfn|Abramowitz|Stegun|p=82|loc=4.4.59}} :
<math display="block"> \int \arccos(x)~\mathrm dx = x \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C.</math>

=== Relation entre arc cosinus et arc sinus===
[[Image:Arcsine Arccosine.svg|thumb| Représentations graphiques d'<math>\arccos x</math> (en bleu) et d'<math>\arcsin x</math> (en rouge).]]
<math display="block"> \arccos x+ \arcsin x= \frac{\pi}2</math>

En effet, <math>\frac{\pi}{2}-\arccos x</math> est compris entre <math>-\frac{\pi}{2}</math> et <math>\frac{\pi}{2}</math>  et [[Angles complémentaires|son sinus est égal au cosinus de <math>\arccos x</math>]], c'est-à-dire à <math>x</math>, donc <math>\frac{\pi}{2}-\arccos x = \arcsin x</math>.

(Pour une autre méthode, voir [[Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée|« Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones]].)

{{Clr|right}}

=== Forme logarithmique complexe ===
On peut exprimer la fonction <math>\arccos</math> à l’aide du [[logarithme complexe]]{{sfn|Abramowitz|Stegun|p=80|loc=4.4.27}} :
<math display="block">\arccos(x)=-\mathrm i\,\ln\left(x+\mathrm i\,\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{\pi}2\,+\mathrm i\ln\left(\mathrm i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}2-\arcsin(x).</math>

==Références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets| commons=Category:Arc cosine function| v=Fonctions circulaires réciproques/Fonction arccos| wikiversity titre=Fonction arccos}}

=== Articles connexes ===
* [[Arc sinus]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{mathworld |nom_url=InverseCosine |titre=Inverse Cosine}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Milton Abramowitz]]|auteur2=[[Irene Stegun]]|titre=[[Handbook of Mathematical Functions]]|éditeur=[[Dover Publications]]|pages totales=1046|lire en ligne=https://archive.org/details/AandS-mono600/mode/2up|accès url=libre|consulté le=2024-07-04|numéro chapitre=4.4|titre chapitre=Inverse Circular Functions.}}

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|géométrie|analyse}}

[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]