Arc cosinus

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou $\pi$ rad).

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée $\arccos$ ($\mathrm{Arccos}$ ou $\mathrm{Acos}$ en notation française, et ${\cos }^{-1}$, parfois $\mathrm{acos}$ ou $\mathrm{acs}$ , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle $[0;\pi ]$ donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation $y=x$.

Définition

La fonction $\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ]$ est définie comme la fonction réciproque de $\cos$ sur $[0,\pi ]$, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

$$\mathrm{\forall }x\in [0,\pi ]\arccos (\cos x)=x.$$

Propriétés

Relations trigonométriques

Non-parité

Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction $\arccos$ n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivanteModèle:Sfn : $$\mathrm{\forall }x\in [-1,1]\arccos (-x)=\pi -\arccos x.$$

Relation avec le sinus

Pour $X=\arccos x$, on a $\sin X\ge 0$ (car $X\in [0,\pi ]$) et ${\cos }^{2}X+{\sin }^{2}X=1$, doncModèle:Référence souhaitée : $$\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.$$

« Inversion » des formules trigonométriques

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, on a $\arccos (2X^2-1)=2\arccos X$, mais seulement pour $X\in [0,1]$Modèle:Référence souhaitée.

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, $\arccos$ est dérivable sur $]-1;1[$ et vérifieModèle:Sfn : $${\arccos }^{\prime }x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus Modèle:Supra.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinieModèle:Sfn : $$\arccos x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t.$$

Primitives

Les primitives de la fonction $\arccos$ s'obtiennent par intégration par partiesModèle:Sfn : $$\int \arccos (x)\mathrm{d}x=x\arccos (x)-\sqrt{1-x^2}+C.$$

Relation entre arc cosinus et arc sinus

Représentations graphiques d'$\arccos x$ (en bleu) et d'$\arcsin x$ (en rouge).

$$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$$

En effet, $\frac{\pi }{2}-\arccos x$ est compris entre $-\frac{\pi }{2}$ et $\frac{\pi }{2}$ et son sinus est égal au cosinus de $\arccos x$, c'est-à-dire à $x$, donc $\frac{\pi }{2}-\arccos x=\arcsin x$.

(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexe

On peut exprimer la fonction $\arccos$ à l’aide du logarithme complexeModèle:Sfn : $$\arccos (x)=-\mathrm{i}\ln (x+\mathrm{i}\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}+\mathrm{i}\ln (\mathrm{i}x+\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin (x).$$

Voir aussi

Articles connexes

• Arc sinus

Liens externes

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