Restriction (mathématiques)

La fonction Modèle:Math n'admet pas de réciproque sur la droite réelle. Il faut restreindre sur les réels positifs pour pouvoir définir la racine carrée Modèle:Racine.

En mathématiques, la restriction d'une fonction Modèle:Mvar est une fonction, souvent notée Modèle:Math ou $f{\upharpoonright }_A$, pour laquelle on ne considère que les valeurs prises par Modèle:Mvar sur un domaine Modèle:Mvar inclus dans le domaine de définition de Modèle:Mvar.

Définition

Soit Modèle:Math une fonction sur un ensemble Modèle:Mvar vers un ensemble Modèle:Mvar. Si on prend Modèle:Mvar, un sous-ensemble de Modèle:Mvar, alors la restriction de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est la fonction :

${f|}_A:\begin{array}{cc}A& \to F\\ x& \mapsto f{|}_A(x)=f(x)\end{array}$

La restriction de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est donc égale à Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar, mais non définie sur le reste du domaine de Modèle:Mvar.

Exemples

• La restriction de la fonction non injective $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$ sur le domaine ${ℝ}_{+}=[0,+\mathrm{\infty }[$ est la fonction injective $f:{ℝ}_{+}\to ℝ,x\mapsto x^2$.
• La factorielle peut être vue comme la restriction de la fonction gamma sur les entiers positifs, avec un décalage à droite :

  $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\mathrm{\Gamma }|}_{\mathbb{N}}(n)=(n-1)!$

Propriétés

• La restriction d'une fonction à tout son domaine de définition est égale à la fonction elle-même : Modèle:Math.
• Restreindre deux fois revient à restreindre une seule fois : si $A\subseteq B\subseteq \mathrm{dom}f$, alors $(f{|}_B){|}_A=f{|}_A$.
• La restriction de la fonction identité sur un ensemble X à un sous-ensemble A de X est simplement l'injection canonique Modèle:Mvar de A dans XModèle:,.
• La restriction à A d'une application Modèle:Mvar définie sur X est alors la composée Modèle:Math par Modèle:Mvar de cette injection Modèle:Mvar.
• Par conséquent, la restriction préserve la continuité.

Applications

Fonctions réciproques

Modèle:Article détaillé Pour qu'une fonction ait une réciproque, elle doit être bijective. Si ce n'est pas le cas, on peut alors définir une restriction de la fonction sur un domaine où elle est bijective, et donc y définir une réciproque. Par exemple, la fonction carré :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=x^2$

n'est pas injective (puisqu'on a Modèle:Math. Cependant, en considérant la restriction sur la demi-droite des réels positifs Modèle:Math, on peut définir la réciproque, la racine carrée :

$\mathrm{\forall }y\in {ℝ}_{+},f^{-1}(y)=\sqrt{y}.$

Les fonctions racines d'une puissance paire, les fonctions arc cosinus et arc sinus, reposent sur le même principe.