Composition de fonctions

Exemple de composition de deux fonctions f et g.

La composition de fonctions (ou composition d’applications) est, en mathématiques, un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde (à condition que cela ait un sens). On parle alors de fonction composée (ou d'application composée).

Définition formelle

Soient Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math trois ensembles quelconques. Soient deux fonctions $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$. On définit la composée de Modèle:Math par Modèle:Math, notée $g\circ f$, par

$\mathrm{\forall }x\in X,(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

On applique ici Modèle:Math à l'argument Modèle:Math, puis on applique Modèle:Math au résultat.

On obtient ainsi une nouvelle fonction $g\circ f:X\to Z$.

La notation $g\circ f$ se lit « Modèle:Math rond Modèle:Math », « Modèle:Math suivie de Modèle:Math » ou encore « Modèle:Math après Modèle:Math ». On note parfois $g\circ f(x)$ pour $(g\circ f)(x)$.

Cette définition peut être visualisée par un diagramme commutatif.

Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & -x\end{array}\mathrm{e}\mathrm{t}\begin{array}{cccc}g:& {ℝ}_{+}& \to & ℝ\\ & x& \mapsto & \sqrt{x}.\end{array}$

Ici, l'ensemble d'arrivée de Modèle:Math est $ℝ$. Or l'ensemble de départ de Modèle:Math est ${ℝ}_{+}$ (il n'existe pas de nombre réel dont le carré soit strictement négatif). Stricto sensu, la fonction $g\circ f$ n'a donc pas de sens ici et seule $g\circ f_1:{ℝ}_{-}\to ℝ$ en a un, où Modèle:Math est la fonction suivante, obtenue par restriction-corestriction de Modèle:Math :

$\begin{array}{cccc}{f}_1:& {ℝ}_{-}& \to & {ℝ}_{+}\\ & x& \mapsto & -x\end{array}$

Propriétés

Ici, on ne se préoccupe pas des problèmes de compatibilité des domaines des fonctions considérées.

• La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :Modèle:Retrait
• La composition de fonctions est associative :Modèle:Retrait
• La composition de fonctions n'est généralement pas distributive (sur un opérateur quelconque $\star$) :Modèle:Retrait
• Si la fonction Modèle:Math est continue en Modèle:Math et la fonction Modèle:Math est continue en Modèle:Math alors $g\circ f$ est continue en Modèle:Math.
• Composition de deux fonctions Modèle:Math et Modèle:Math strictement monotones (le sens de variation obéit à une sorte de règle des signes) :
  • si Modèle:Math et Modèle:Math ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante ;
  • si Modèle:Math et Modèle:Math ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.
• Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :Modèle:RetraitVoir l'article « Théorème de dérivation des fonctions composées ».
• Réciproque d'une composée :Modèle:Retrait

Puissances fonctionnelles

On conserve les notations ci-dessus. Si $Y=X$ alors $f$ peut être composée avec elle-même et la composée est notée $f^2$. Ainsi

$f^2=f\circ f$

$f^3=f\circ f\circ f$

et de manière plus générale :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{f}^n=\underset{n\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}}{\underbrace{f\circ \dots \circ f}}$.

On pose

$f^0={\mathrm{id}}_X$

où ${\mathrm{id}}_X$ est l'application identité de l'ensemble $X$.

On peut étendre cette notation aux exposants entiers négatifs, à condition de supposer la fonction $f$ bijective (de $X$ dans lui-même). Alors, $f^{-1}$ désigne l'application réciproque et pour tout entier $n>0$, $f^{-n}$ est la composée de $f^{-1}$ par elle-même Modèle:Math fois.

La puissance d'une fonction est distincte de la multiplication des applications. Par exemple, Modèle:Math désigne couramment le carré de la fonction sinus :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ{\sin }^2(x)=(\sin (x){)}^2=\sin (x)\times \sin (x)$.

Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

On peut également s'intéresser aux racines carrées fonctionnelles, c'est-à-dire que l'on cherche, pour une fonction g donnée, une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x. Modèle:Refnec

Autre notation

Modèle:Refnec trouvèrent que la notation $g\circ f$ portait à confusion et décidèrent d'utiliser une notation post-fixée : Modèle:Math pour Modèle:Math et Modèle:Math pour $(g\circ f)(x)$.

Typographie

Le caractère Unicode « rond », « ∘ », est le caractère U+2218. En LaTeX, ce caractère est obtenu par la commande \circ.

Voir aussi

Articles connexes

• Logique combinatoire
• Lambda-calcul
• Fonction d'ordre supérieur
• Composition de relations binaires