Racine carrée fonctionnelle

Itérations de la fonction sinus (bleu), dans la première demi-période. Demi-itération (orange), c'est-à-dire la racine carrée fonctionnelle du sinus ; la racine carrée fonctionnelle de celle-ci, le quart d'itération (noir) au-dessus ; et quatre itérations intégrales au-dessous, en commençant par la deuxième itération (rouge). Le triangle enveloppe vert représente l'itération limite nulle, la fonction en dents de scie servant de point de départ à la fonction sinus. Tiré du site Web de pédagogie générale.

En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction Modèle:Math est une fonction Modèle:Math satisfaisant Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

Notation

Des notations possibles pour indiquer que Modèle:Math est une racine carrée fonctionnelle de Modèle:Math sont Modèle:Math et Modèle:Math.

Historique

• La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle, a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950.
• Les solutions de Modèle:Math sur $ℝ$ (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage. Une solution particulière est Modèle:Math pour Modèle:Math. Babbage remarqua que pour une solution Modèle:Math donnée, sa conjuguée topologique Modèle:Math par une fonction inversible quelconque Modèle:Math est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.

Solutions

Un procédé pour produire des racines Modèle:Mvar-ièmes fonctionnelles pour des Modèle:Mvar quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de SchröderModèle:,Modèle:,.

Exemples

• Modèle:Math est une racine carrée fonctionnelle de Modèle:Math.
• Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, Modèle:Math, est Modèle:Math, qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
• Modèle:Math est une racine carrée fonctionnelle de Modèle:Math.

Voir aussi

• Racine carrée d'une matrice
• Fonction itérée
• Équation de Schröder
• Analyse fractionnaire