Fonction demi-exponentielle

En mathématiques, une fonction semi-exponentielle est une racine carrée fonctionnelle d'une fonction exponentielle. Autrement dit, une fonction $f$ telle que $f$ composée avec elle-même donne une fonction exponentielleModèle:,: $$f(f(x))=a{b}^x,$$ pour certaines constantes Modèle:Nobr

Impossibilité d'une forme fermée

Si une fonction $f$ est définie à l'aide des opérations arithmétiques standard, de l'exponentiation, des logarithmes et des constantes réelles, alors $f(f(x))$ est soit sous-exponentielle, soit super-exponentielle. Ainsi, une [[Corps de Hardy|fonction Modèle:Mvar de Hardy]] ne peut pas être semi-exponentielle.

Construction

Toute fonction exponentielle peut être écrite comme l'auto-composition $f(f(x))$ pour une infinité de choix possibles de $f$. En particulier, pour chaque $A$ dans l'intervalle ouvert $]0,1[$ et pour toute fonction continue strictement croissante $g$ depuis $[0,A]$ sur $[A,1]$, il existe un prolongement de cette fonction vers une fonction continue strictement croissante $f$ sur les nombres réels tels que Modèle:Nobr. La fonction $f$ est l'unique solution de l'équation fonctionnelle$$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& \text{si }x\in [0,A],\\ \exp g^{-1}(x)& \text{si }x\in ]A,1],\\ \exp f(\ln x)& \text{si }x>1,\\ \ln f(\exp x)& \text{si }x<0.\end{array}$$

Exemple de fonction semi-exponentielle

Un exemple simple, qui conduit à $f$ avec une dérivée continue partout, consiste à prendre $A=\frac{1}{2}$ et $g(x)=x+\frac{1}{2}$, donnant$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\ln ({\mathrm{e}}^x+\frac{1}{2})& \text{si }x\le -\ln 2,\\ {\mathrm{e}}^x-\frac{1}{2}& \text{si }-\ln 2\le x\le 0,\\ x+\frac{1}{2}& \text{si }0\le x\le \frac{1}{2},\\ {\mathrm{e}}^{x-1/2}& \text{si }\frac{1}{2}\le x\le 1,\\ x\sqrt{\mathrm{e}}& \text{si }1\le x\le \sqrt{\mathrm{e}},\\ {\mathrm{e}}^{x/\sqrt{\mathrm{e}}}& \text{si }\sqrt{\mathrm{e}}\le x\le \mathrm{e},\\ x^{\sqrt{\mathrm{e}}}& \text{si }\mathrm{e}\le x\le {\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{e}}},\\ {\mathrm{e}}^{x^{1/\sqrt{\mathrm{e}}}}& \text{si }{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{e}}}\le x\le {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}},\dots \end{array}$$

Application

Les fonctions demi-exponentielles sont utilisées dans la théorie de la complexité informatique pour les taux de croissance « intermédiaires » entre polynôme et exponentiel. Modèle:Références multiples Une fonction $f$ croît au moins aussi vite qu'une fonction demi-exponentielle (sa composition avec elle-même croît de façon exponentielle) si elle est non décroissante et $f^{-1}(x^C)=o(\log x)$, pour Modèle:Nobr

Voir aussi

• Fonction itérée
• Équation de Schröder
• Modèle:Lien

Liens externes

• Modèle:En Does the exponential function have a (compositional) square root?
• Modèle:En "Closed-form" functions with half-exponential growth