Exponentielle de base a

En analyse réelle, l'exponentielle de base Modèle:Formule est la fonction notée Modèle:Math qui, à tout réel Modèle:Math, associe le réel Modèle:Math. Elle n'a de sens que pour un réel Modèle:Math strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier Modèle:Math associe Modèle:Math. C'est donc la version continue d'une suite géométrique.

Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme

${\exp }_a(x)=a^x={\mathrm{e}}^{x\ln (a)}.$

Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur Modèle:Math en Modèle:Math et transformant une somme en produit.

Pour Modèle:Math différent de Modèle:Math, c'est la réciproque de la [[logarithme|fonction logarithme de base Modèle:Math]]. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas Modèle:Math correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien.

Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur ℝ, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur Modèle:Math en Modèle:Math. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.

On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est Modèle:Math.

De la puissance à l'exponentielle

On considère un réel Modèle:Math strictement positif ; il est facile de définir Modèle:Math comme le produit de Modèle:Math par lui-même Modèle:Math fois pour tout entier Modèle:Math supérieur ou égal à Modèle:Math,

${\exp }_a(n)=a^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

puis de définir Modèle:Math et Modèle:Math. On démontre aisément la propriété Modèle:Math. Cette construction, assez naturelle, correspond aux phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle. Modèle:Article détaillé

• Exemple 1 : imaginons une population dont la taille augmente de 30 % tous les Modèle:Nombre. Si l'on note Modèle:Math la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920… qui sera de Modèle:Math, puis Modèle:Math… pour aboutir au bout de n décennies à Modèle:Math. Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880… qui sera de Modèle:Math, Modèle:Math…
• Exemple 2 : le carbone 14 a une décroissance radioactive de période Modèle:Math ans ce qui veut dire que tous les Modèle:Math ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si l'on mesure, à un instant donné, le nombre Modèle:Mvar de particules radioactives, au bout de Modèle:Mvar périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de Modèle:Math.

La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de « combler les trous entre les entiers ». Une tentative peut être faite grâce à la [[Racine d'un nombre|racine Modèle:Math-ième]] : si la population a été multipliée en Modèle:Nombre par 1,3, on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, c'est-à-dire Modèle:Math que l'on note Modèle:Math.

On est donc capable de définir [[Puissance d'un nombre|Modèle:Mvar pour des exposants non entiers]] :

${\exp }_a(1/q)=a^{1/q}=\sqrt[q]{a}$

${\exp }_a(p/q)=a^{p/q}=(\sqrt[q]{a}{)}^p=\sqrt[q]{a^p}$.

On a ainsi « comblé les trous » et défini Modèle:Mvar pour tout Modèle:Mvar rationnel. Pour définir Modèle:Mvar pour tout réel Modèle:Mvar, il faut ajouter un argument de continuité : tout réel Modèle:Mvar est « aussi proche que l'on veut » d'un rationnel Modèle:Math ; la valeur de Modèle:Mvar sera alors « proche de » Modèle:Math.

Cette idée intuitive de ce que pourrait être Modèle:Math apparaît très tôt — en même temps que la notation exponentielle, c'est-à-dire dès le Modèle:S. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en Modèle:Math :

• une fonction ;
• vérifiant Modèle:Math, c'est-à-dire transformant une somme en produit ;
• continue ;
• réciproque d'une fonction logarithme (qui transforme un produit en somme) ;
• dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possibles pour la définition de la fonction exponentielle : par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit), par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction), ou par ses relations avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.

Par la propriété algébrique

Autrement dit : ces fonctions sont les morphismes continus de (R, +) dans (RModèle:Ind*, ×), et sont en bijection avec RModèle:Ind* via Modèle:Math.

La relation

$f(u)=f\left(2\frac{u}{2}\right)={\left[f\left(\frac{u}{2}\right)\right]}^2$

assure que la fonction est à valeurs positives.

L'équation fonctionnelle garantit de plus que toutes ces valeurs sont non nulles dès que l'une d'entre elles l'est.

Puis, des considérations analogues à celles développées dans la section précédente assurent l'existence et l'unicité, pour tout réel Modèle:Math, d'une fonction Modèle:Math définie sur les rationnels, vérifiant l'équation fonctionnelle, et prenant en 1 la valeur Modèle:Math.

On démontre la continuité et — par densité de ℚ dans ℝ — l'unicité d'une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle, prenant en Modèle:Math la valeur Modèle:Math, et continue en au moins un point. Son existence s'obtient par prolongement par continuité :

On peut remarquer que — hormis la fonction constante Modèle:Math, qui correspond à Modèle:Math — toutes ces applications Modèle:Math sont bijectives. Ce sont donc des isomorphismes de (R, +) dans (RModèle:Ind*, ×).

On prouve qu'alors Modèle:Math est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)\times f(x)\text{et}f(0)=1.$

À l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien

Cette fonction est bien continue, transforme une somme en produit et prend la valeur Modèle:Math en 1.

Par une équation différentielle

On peut remarquer que pour une telle fonction, Modèle:Math est la valeur de la dérivée en 0.

En supposant seulement connue l'[[Fonction exponentielle#Par une équation différentielle|existence d'une solution pour Modèle:Math (la fonction Modèle:Math)]], une solution évidente pour Modèle:Math quelconque est la fonction Modèle:Math.

On montre que cette solution est la seule. De plus, la solution transforme toute somme en produit, donc sa définition coïncide avec celle ci-dessus « Par la propriété algébrique », pour Modèle:Math.

Comme réciproque des fonctions logarithmes

La fonction logarithme étant continue, transformant un produit en somme et prenant la valeur Modèle:Math en Modèle:Math, sa bijection réciproque est continue, transforme une somme en produit et prend la valeur Modèle:Math en Modèle:Math.

Propriétés

Propriétés algébriques

• Pour tous réels strictement positifs Modèle:Math et Modèle:Math et pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math :

  $a^x=\exp (x\ln (a))={\mathrm{e}}^{x\ln (a)},a^x=b^{x{\log }_b(a)},a^{xy}={\left(a^x\right)}^y.$

• Les applications Modèle:Math sont des morphismes de groupes (abéliens) de (R, +) dans (RModèle:Ind*, ×) :

  $a^{x+y}=a^x{a}^y,a^0=1,\frac{1}{a^x}=a^{-x}.$

• Ces morphismes constituent un groupe isomorphe à (RModèle:Ind*, ×) (via Modèle:Math) — donc aussi à (R, +) :

  $a^x{b}^x=(ab{)}^x,1^x=1,\frac{1}{a^x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x,a^1=a.$

Étude de fonction

La fonction exponentielle de base Modèle:Math est indéfiniment dérivable sur R et sa dérivée a pour expression

${{\exp }_a}^{\prime }(x)=\ln (a){\exp }_a(x)$.

Puisque la fonction exponentielle est toujours positive, le signe de sa dérivée ne dépend que du signe de Modèle:Math. La fonction est donc strictement croissante lorsque la base Modèle:Math est strictement plus grande que Modèle:Math ; elle est strictement décroissante quand la base est inférieure à Modèle:Math et constante si on a pris pour base Modèle:Math.

Les limites de la fonction exponentielle de base Modèle:Math dépendent de la position de Modèle:Math par rapport à Modèle:Math :

• si Modèle:Math alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }\mathrm{e}\mathrm{t}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0;$
• si Modèle:Math alors $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0\mathrm{e}\mathrm{t}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }.$

La fonction exponentielle a un comportement prévisible par rapport à la fonction puissance : [[Théorème des croissances comparées|en cas d'indétermination en Modèle:Math, c'est l'exponentielle qui l'emporte]] :

pour tous réels Modèle:Math et Modèle:Math, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a^x}{x^b}=+\mathrm{\infty }.$

Elle est à la fois logarithmiquement convexe (donc convexe) et Modèle:Lien.

Voir aussi

• Croissance exponentielle
• Décroissance exponentielle