Équation de Schröder

Modèle:Ébauche L'équation de Schröder est une équation fonctionnelle à une variable, Elle porte le nom du mathématicien Ernst Schröder.

L'équation de Schröder est l'équation de la valeur propre de l'opérateur de composition C_h qui associe une fonction f à la fonction composée f • h. Elle joue un rôle déterminant dans le domaine des équations fonctionnelles : c'est une simple équation linéaire et ses solutions servent souvent dans la construction de solutions à des équations plus compliquées . Elle peut servir pour calculer des racines carrées fonctionnelles.

Applications

Linéarisation d'équation fonctionnelles

Soit une équation fonctionnelle linéaire de la forme : $$f(g(x))=h(x)f(x)+F(x)$$ où f: I → I est inconnue, g, h, F sont connues et g(I) inclus dans I.

Si la fonction σ est solution de l'équation de Schröder pour la fonction g et la constante s, alors le changement de variable : $$\{\begin{array}{c}y=\sigma (x)\\ \overline{f}(y)=f(x)\end{array}$$ mène à l'équation suivante, plus simple à résoudre :

$$\overline{f}(sy)=\overline{h}(y)\overline{f}(y)+\overline{F}(y)$$Avec $\overline{h}(y)=h({\sigma }^{-1}(y)),\overline{F}(y)=F({\sigma }^{-1}(y))$.

Relation avec d'autres équations fonctionnelles

L'équation de Schröder fait partie de la famille des Modèle:Traduction de la forme : $$f(h(x))=H(f(x))$$ au même titre que les équations d'Abel et de Böttcher.

Voir aussi

• Équation fonctionnelle
• Composition de fonctions
• Itération
• Racine carrée fonctionnelle