Ensemble d'arrivée

En mathématiques, pour une application ou une fonction donnée Modèle:Math, l'ensemble Modèle:Mvar est appelé l'ensemble d'arrivée (on dit parfois le but de Modèle:Mvar ou le codomaine de Modèle:Mvar).

Diagramme sagittal d'une application d'ensemble de départ Modèle:Mvar = {1,2,3,4} et d'ensemble d'arrivée Modèle:Mvar = {a,b,c,d}. Ici, l'image {b,c,d} de cette fonction est différente de son ensemble d'arrivée.

L'ensemble d'arrivée ne doit pas être confondu avec l'image Modèle:Math de Modèle:Mvar, qui est en général seulement un sous-ensemble de Modèle:Mvar.

Exemple

Soit la fonction Modèle:Mvar sur l'ensemble des nombres réels définie par

$\begin{array}{ccccc}f& :& ℝ& \to & ℝ\\ & & x& \mapsto & x^2.\end{array}$

L'ensemble d'arrivée de Modèle:Mvar est $ℝ$ mais Modèle:Math ne prend jamais de valeurs négatives. L'image est en fait l'intervalle $[0,+\mathrm{\infty }[={ℝ}_{+}$ des réels positifs.

$f\left(ℝ\right)=[0,+\mathrm{\infty }[$.

Nous aurions pu définir une fonction Modèle:Math ainsi :

$\begin{array}{ccccc}g& :& ℝ& \to & [0,+\mathrm{\infty }[\\ & & x& \mapsto & x^2.\end{array}$

Tandis que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ont le même effet quand elles sont appliquées à un nombre réel donné, les fonctions sont différentes puisqu'elles ont des ensembles d'arrivée différents.

Surjectivité

L'ensemble d'arrivée peut avoir un effet sur la surjectivité d'une fonction ; dans notre exemple, Modèle:Mvar est surjective alors que Modèle:Mvar ne l'est pas.

De manière générale, une application Modèle:Math est surjective si, et seulement si, son image est égale à son ensemble d'arrivée, c'est-à-dire $f(A)=B$.

À noter qu'on peut toujours, à partir d'une application $f:A\to B$ construire une application surjective en restreignant son ensemble d'arrivée à l'image de $f$ : l'application $g:A\to f(A)$ définie par $g(x)=f(x)$ pour tout $x$ dans $A$ est surjective.

Voir aussi

Article connexe

Ensemble de définition