Image (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes Modèle:Ébauche En mathématiques, la notion d’image est reliée à la notion d’application avec plusieurs définitions distinctes.

Étant donné une application $f:E\to F$ :

• pour tout élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, l’unique élément $f(x)$ qui lui est relié dans Modèle:Mvar est appelé image de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, et dans ce cas on dit que Modèle:Mvar est un antécédent de $f(x)$ par Modèle:Mvar ;
• l’ensemble des images des éléments de Modèle:Mvar est appelé ensemble image de Modèle:Mvar, ou simplement image de Modèle:Mvar, et se note $\mathrm{Im}(f)=\{f(x),x\in E\}$ ;

f(X) est en jaune.

• pour tout sous-ensemble $A\subset E$, l’image directe de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar est l’ensemble des images des éléments de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar : $f(A)=\{f(x),x\in A\}$, autrement dit c’est l’ensemble des éléments de Modèle:Mvar qui ont au moins un antécédent par Modèle:Mvar ;
• pour tout sous-ensemble $B\subset F$, l’image réciproque ou préimage de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar est l’ensemble des antécédents des éléments de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar : $f^{-1}(B)=\{x\in A:f(x)\in B\}$

Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'image de la figure par symétrie.

f est surjective.

L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'ensemble d'arrivée (ou codomaine) de f. Pour une fonction donnée f : X → Y, l'ensemble de définition est X et l'ensemble d'arrivée est Y. L'image f(X) de X par f, aussi appelée l'image de f, est en général seulement un sous-ensemble strict de Y. On a f(X) = Y si et seulement si f est une surjection.

Image d'une fonction

Une fonction numérique ou complexe $f:\{\begin{array}{c}E\to F\\ x\mapsto y=f(x)\end{array}$associe toujours à tout élément de l'ensemble de définition E un unique élément de l'ensemble d'arrivée F, c'est la définition d'une fonction. L'image de $x$ par $f$ se note $f(x)$ et correspond au nombre associé à x par f. A une image peut correspondre plusieurs antécédents.

exemple : pour $f:\{\begin{array}{c}ℝ\to ℝ\\ x\mapsto x^2\end{array}$, 8 a pour image $f(8)=64$, mais 64 a pour antécédents $x=8\vee x=-8$