Image directe

Schéma de l'image directe $f(A)$ du sous-ensemble A d'une fonction injective mais non surjective (donc non bijective).

L'image directe d'un sous-ensemble $A$ de $X$ par une application $f:X\to Y$ est le sous-ensemble de $Y$ formé des éléments qui ont, par $f$, au moins un antécédent appartenant à $A$ :

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \mathrm{\exists }a\in A,y=f(a)\}.$

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application $f$ définie sur $X$ :$\mathrm{I}\mathrm{m}(f)=f(X).$
• On se gardera bien de confondre l'image directe par $f$ d'une partie $A$ de $X$, avec l'image par $f$ d'un élément $x$ de $X$, ou avec l'image de l'application $f$.
• Considérons l'application $f$ de $\{1,2,3\}$ dans $\{a,b,c,d\}$ définie par $f(1)=a$, $f(2)=c$ et $f(3)=d$. L'image directe de $\{2,3\}$ par $f$ est $f(\{2,3\})=\{c,d\}$ tandis que l'image de $f$ est $\{a,c,d\}$.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties $A_1$ et $A_2$ de $X$,$f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2).$Plus généralement, pour toute famille ${\left(A_i\right)}_{i\in I}$ de parties de $X$,$f\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_i).$
• Pour toutes parties $A_1$ et $A_2$ de $X$,$f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2)$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective.
  On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A_1$ et $A_2$ de $X$, on a $f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$.

Plus généralement, pour toute famille non vide

${\left(A_i\right)}_{i\in I}$

de parties de

$X$

,

$f\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_i)$.

• Toute partie $B$ de $Y$ contient l'image directe de son image réciproque $f^{-1}(B)$ ; plus précisément :$f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm{I}\mathrm{m}(f).$En particulier, si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.

On peut même prouver que $f$ est surjective si et seulement si pour toute partie $B$ de $Y$ on a $f(f^{-1}(B))=B$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie $A$ de $X$ est contenue dans l'image réciproque de son image directe :$A\subset f^{-1}(f(A))$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective. On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A$ de $X$, on a $A=f^{-1}(f(A))$.
• Si l'on considère de plus une application $g:Y\to Z$, alors l'image directe d'une partie $A$ de $X$ par la composée $g\circ f:X\to Z$ est :

$(g\circ f)\left(A\right)=g(f(A))$

Articles connexes

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)