Antécédent (mathématiques)

En mathématiques, étant donné deux ensembles Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et une application $f : E \to F$ , on appelle antécédent (par Modèle:Mvar) d'un élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar tout élément dont l'image par Modèle:Mvar est Modèle:Mvar, c'est-à-dire tout élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar tel que Modèle:Math.

Un antécédent de Modèle:Mvar est donc, par définition, un élément de l'image réciproque $f^{- 1} ({y})$ .

Exemples

Soient la fonction carré $f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}$ et Modèle:Mvar un nombre réel.

Si Modèle:Math alors Modèle:Mvar admet deux antécédents, qui sont $\sqrt{y}$ et $- \sqrt{y}$ .
Si Modèle:Math alors Modèle:Mvar admet un seul antécédent, qui est Modèle:Math.
Si Modèle:Math alors Modèle:Mvar n'admet aucun antécédent.

Modèle:Article détaillé Soient une application $f : E \to F$ et Modèle:Mvar une partie de Modèle:Mvar. On appelle « [[image directe|image de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar]] » l'ensemble des éléments de Modèle:Mvar qui admettent au moins un antécédent appartenant à Modèle:Mvar ; on la note Modèle:Math. L'ensemble Modèle:Math est appelé [[Image d'une application|image de Modèle:Mvar]].

Modèle:Article détaillé Soit une application $f : E \to F$ . On dit que Modèle:Mvar est :

injective, si tout élément de Modèle:Mvar admet au plus un antécédent ;
surjective, si tout élément de Modèle:Mvar admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si $f (E) = F$ ;
bijective, si tout élément de Modèle:Mvar admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de Modèle:Mvar est l'application $f^{- 1} : F \to E, y \mapsto x$ , où Modèle:Mvar est l'unique antécédent de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar.

Les développeurs utilisent le mot « argument » pour désigner le ou les antécédents d'une fonction.