Arc tangente

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$. La notation est arctan ou Arctan (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tanModèle:-1, en notation anglo-saxonne (Attention de bien écrire : $\frac{1}{\tan x}=(\tan x{)}^{-1}$ et non ${\tan }^{-1}(x)$).

Pour tout réel Modèle:Mvar :

$y=\arctan x⟺\tan y=x\text{ et }y\in ]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ par une réflexion d'axe la droite d'équation Modèle:Mvar (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

Parité

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel Modèle:Mvar) Modèle:Retrait

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Modèle:Math est dérivable et vérifie : Modèle:Retrait

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente est :

$\mathrm{\forall }x\in [-1,1]\arctan x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\cdots$.

Cette série entière converge vers Modèle:Math quand Modèle:Math et Modèle:Math. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même Modèle:Incise sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points Modèle:Math).

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

La fonction Modèle:Math peut être utilisée pour calculer des [[Approximation de π|approximations de Modèle:Math]] ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas Modèle:Math du développement en série ci-dessus :

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$.

Équation fonctionnelle

On peut déduire Modèle:Math de Modèle:Math et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}\arctan \frac{1}{x}+\arctan x=\frac{\pi }{2}$ ;

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{-}^{*}\arctan \frac{1}{x}+\arctan x=-\frac{\pi }{2}$.

Fonction réciproque

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ : Modèle:Retrait

Ainsi, pour tout réel Modèle:Mvar, Modèle:Math. Mais l'équation Modèle:Math n'est vérifiée que pour Modèle:Mvar compris entre $-\frac{\pi }{2}$ et $\frac{\pi }{2}$.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de Modèle:Mathℝ dans ℂ privé des deux demi-droites Modèle:Math et Modèle:Math de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : Modèle:Retrait

Logarithme complexe

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

$\mathrm{\forall }x\in ℂ\setminus \left(\mathrm{i}(]-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)\right)\arctan x=\frac{1}{\mathrm{i}}\mathrm{artanh}(\mathrm{i}x)=\frac{1}{2\mathrm{i}}\ln \frac{1+\mathrm{i}x}{1-\mathrm{i}x}=\frac{\ln (1+\mathrm{i}x)-\ln (1-\mathrm{i}x)}{2\mathrm{i}}$.

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\arctan t\mathrm{d}t=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$.

Utilisation de la fonction arc tangente

Modèle:Article détaillé La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

$\frac{1}{a{x}^2+bx+c}$

Si le discriminant Modèle:Math est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

$u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

$\frac{4a}{|D|}\frac{1}{1+u^2}.$

L'intégrale est alors

$\frac{2}{\sqrt{|D|}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}$.

Formule remarquable

Si Modèle:Math, alors :

$\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}+k\pi$

où

$k=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }xy<1,\\ 1& \text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }>0,\\ -1& \text{si }xy>1\text{ avec }x\text{ (et }y\text{) }<0.\end{array}$

Autres utilisations

Quatre fonctions sigmoïdes (formes canoniques mises à l'échelle par rapport aux valeurs asymptotiques et à la pente à l'origine). La courbe en bleu représente la fonction arc tangente.

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdesModèle:Citation nécessaire. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Voir aussi

Articles connexes

• Atan2
• Fonction circulaire réciproque
• L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.
• Définition de la fonction arc tangente sur les complexes