Tangente hyperbolique

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh (ou th) est la fonction complexe suivante :

$\begin{array}{cccc}\tanh :& ℂ\setminus \mathrm{i}\pi (\mathbb{Z}+\frac{1}{2})& ⟶& ℂ\\ & z& ⟼& \frac{\sinh (z)}{\cosh (z)}\end{array}$

où Modèle:Math est la fonction sinus hyperbolique et Modèle:Math la fonction cosinus hyperbolique.

Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus, et d'ailleurs, on a (pour tous les $z$ du domaine de définition) $\tanh (z)=-i\tan (iz)$, ou encore $\tan (z)=-i\tanh (iz)$ pour tout $z\in ℂ\setminus \pi (\mathbb{Z}+\frac{1}{2})$.

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

$\tanh (z)=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}=\frac{{\mathrm{e}}^{2z}-1}{{\mathrm{e}}^{2z}+1}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-2z}}{1+{\mathrm{e}}^{-2z}}.$

Propriétés

Propriétés générales

• Sur son domaine de définition, tanh est holomorphe (donc continue et même infiniment dérivable), de dérivée égale à${\tanh }^{\prime }=\frac{1}{{\cosh }^2}=1-{\tanh }^2.$
• tanh est donc une solution de l'équation différentielle Modèle:Math (qui est une équation de Riccati, dont la solution générale est Modèle:Math).
• Elle est périodique, de période Modèle:Math.
• C'est une fonction impaire.
• Elle vérifie la formule d'addition $\tanh (\alpha +\beta )=\frac{\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \tanh \beta }.$
• Sa restriction à ℝ est une bijection strictement croissante de ℝ dans ]–1, 1[.
• Sur ℝ, une primitive de tanh est Modèle:Math.

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor en 0 de tanh s'exprime à l'aide des nombres de Bernoulli Modèle:Math, définis par la série entière suivante (de rayon de convergence Modèle:Math) : Modèle:Retrait

$\tanh z=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{z}^{2n-1}=z-\frac{z^3}{3}+\frac{2z^5}{15}-\frac{17z^7}{315}+\frac{62z^9}{2835}+\cdots .$

Le rayon de convergence de cette série entière est Modèle:Math.

Modèle:Démonstration/début Ce développement se déduit immédiatement de celui, plus simple, de la fonction cotangente hyperbolique : pour 0 < |z| < Modèle:Math,

$\coth z=\frac{{\mathrm{e}}^{2z}+1}{{\mathrm{e}}^{2z}-1}=1+\frac{2}{{\mathrm{e}}^{2z}-1}=\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{z}^{2n-1},$

à l'aide de l'identité

$\tanh z=2\coth (2z)-\coth z.$

Développement en fraction continue

En 1761, Jean-Henri Lambert a démontré que l'un des développements en fraction continue généralisée de la fonction tanh est Modèle:Retrait ainsi qu'un théorème général permettant d'en déduire que l'exponentielle de tout rationnel non nul est un irrationnel (cf. « Fraction continue et approximation diophantienne »).

Valeurs

Quelques valeurs de tanh :

• $\tanh (0)=0,$
• $\tanh (1)=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{{\mathrm{e}}^2+1},$
• $\tanh (\mathrm{i})=\mathrm{i}\tan (1).$

Fonction réciproque

La bijection réciproque de la restriction de tanh à ℝ, notée Modèle:Math (ou Modèle:Math ou Modèle:Math ou encore parfois Modèle:Math), s'explicite par :

$\mathrm{\forall }x\in ]-1,1[\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}=\frac{1}{2}(\ln (1+x)-\ln (1-x))$,

où Modèle:Math désigne le logarithme naturel.

Plus généralement, la fonction Modèle:Math se restreint en une bijection de ℝ + Modèle:Math dans ℂ\Modèle:Math, dont la réciproque est décrite par :

$\mathrm{\forall }v\in ℂ\setminus (]-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)\mathrm{artanh}v=\frac{1}{2}\mathrm{Log}\frac{1+v}{1-v}=\frac{1}{2}(\mathrm{Log}(1+v)-\mathrm{Log}(1-v))$,

où Modèle:Math désigne la détermination principale du logarithme complexe.

En effet, pour tout Modèle:Mvar du domaine de définition de Modèle:Math, le complexe Modèle:Math est l'image de Modèle:Math par la [[Fonction homographique|fonction Modèle:Math = Modèle:Sfrac]]. Or cette fonction est une bijection de ℂ\{–1} dans ℂ\{1}, de réciproque Modèle:Math = Modèle:Sfrac, et elle envoie ℂ\ℝModèle:Exp sur ℂ\Modèle:Math.

La fonction Modèle:Math est holomorphe sur l'ouvert $ℂ\setminus (]-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }[)$ et admet le développement en série entière :

$\mathrm{artanh}z=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}$ sur le disque unité fermé $|z|\le 1$ privé de 1 et –1.

Applications

La fonction tangente hyperbolique passe graduellement d'une valeur –1 à une valeur 1. Elle peut donc être utilisée pour représenter un phénomène de transition progressive, « douce », entre deux états.

Certains phénomènes (physiques, économiques…) ne peuvent pas être décrits par une fonction unique sur tout le domaine d'étude. C'est le cas typiquement d'un matériau subissant des changements de phase dans le domaine de température et de pression étudié. On définit alors deux domaines conjoints (ou plus), et une fonction différente sur chaque domaine ; il peut s'agir d'une fonction ayant la même forme mais des paramètres différents. On a donc une fonction de la forme

$f(x)=\{\begin{array}{c}{f}_1(x)\text{ pour }x⩽x_{\mathrm{t}}\\ f_2(x)\text{ pour }x>x_{\mathrm{t}}\end{array}$

la grandeur x_t étant une constante, la valeur frontière.

Dans certains cas, ces fonctions à gauche et à droite ne se raccordent pas parfaitement : la fonction globale n'est alors pas dérivable, voire pas continue. En particulier, si les paramètres des fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont établis par régression sur des données mesurées, il n'y a pas de raccordement par construction (Modèle:Math). Cet effet de seuil peut conduire à des problèmes calculatoires si cette fonction est utilisée pour résoudre numériquement (par ordinateur) un problème, typiquement résolution numérique d'une équation différentielle ou bien optimisation ; on peut alors avoir une instabilité numérique, un calcul itératif qui diverge.

Fonctions de transition.

Pour résoudre ce problème, et si les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math sont définies sur tout l'ensemble d'étude, on peut glisser progressivement d'une fonction à l'autre en utilisant des « fonctions de transition » construites à partir d'une tangente hyperbolique : on définit deux fonctions Modèle:Math et Modèle:Math de la forme

$\{\begin{array}{c}{g}_1(x)=0,5\times [1+\tanh ((x_{\mathrm{t}}-x)/l)]\\ g_2(x)=0,5\times [1+\tanh ((x-x_{\mathrm{t}})/l)]\end{array}$

où l est un facteur de largeur. On définit alors la fonction globale

$\tilde{f}=g_1\times f_1+g_2\times f_2$.

Dans le cadre de la relativité restreinte, le calcul des transformations de Lorentz fait aussi appel à la fonction tangente hyperbolique pour définir la notion de rapidité.

En intelligence artificielle

La fonction tangente hyperbolique est également très similaire à la fonction sigmoïde utilisée avec les réseaux de neurones pour ses caractéristiques de dérivabilité.

Voir aussi

• Modèle:MathWorld