Fraction continue généralisée

En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme :

b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \dots}}}

comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les Modèle:Math sont égaux à 1^[1].

Notations

Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques :

x = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{⋱}}}}

où a_n (n > 0) sont les numérateurs partiels et les b_n les dénominateurs partiels.

Des notations plus compactes sont employées :

x = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} +} \frac{a_{2}}{b_{2} +} \frac{a_{3}}{b_{3} +} \dots

^[2].

Carl Friedrich Gauss utilisa une notation rappelant la notation Σ des séries ou Π du produit infini :

x = b_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{𝐊}} \frac{a_{i}}{b_{i}}

où la lettre Modèle:Math est l'initiale de Modèle:Lang, signifiant « fraction continue » en allemand.

Dans la suite, on adopte l'écriture d'Alfred Pringsheim :

x = b_{0} + \frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \frac{a_{3} ∣}{∣ b_{3}} + \dots .

Transformations de Möbius

L'observation suivante va rendre naturel le calcul des réduites. Les fonctions Modèle:Math définies par

ρ_{0} (z) = b_{0} + z e t \forall n \in ℕ^{*} ρ_{n} (z) = b_{0} + \frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \dots + \frac{a_{n} ∣}{∣ b_{n} + z}

sont des composées de fonctions homographiques :

\forall n \in ℕ^{*} ρ_{n} = ρ_{n - 1} \circ τ_{n} a v e c τ_{n} (z) = \frac{a_{n}}{b_{n} + z} .

Les matrices associées vérifient alors

R_{0} = (\begin{matrix} 1 & b_{0} \\ 0 & 1 \end{matrix}) e t \forall n \in ℕ^{*} R_{n} = R_{n - 1} T_{n} a v e c T_{n} = (\begin{matrix} 0 & a_{n} \\ 1 & b_{n} \end{matrix}),

si bien que^[3]

\forall n \in ℕ R_{n} = (\begin{matrix} h_{n - 1} & h_{n} \\ k_{n - 1} & k_{n} \end{matrix}) e t ρ_{n} (z) = \frac{h_{n - 1} z + h_{n}}{k_{n - 1} z + k_{n}},

où les Modèle:Math et Modèle:Math sont définis par

\begin{matrix} h_{- 1} & = 1, & h_{0} & = b_{0}, & h_{n} & = b_{n} h_{n - 1} + a_{n} h_{n - 2} e t \\ k_{- 1} & = 0, & k_{0} & = 1, & k_{n} & = b_{n} k_{n - 1} + a_{n} k_{n - 2} . \end{matrix}

Réduites

Des formules précédentes découlent celles sur les numérateurs et dénominateurs des réduites, généralisant celles des réduites d'une fraction continue simple :

\begin{matrix} \forall n \in ℕ & b_{0} + \frac{a_{1} ∣}{∣ b_{1}} + \frac{a_{2} ∣}{∣ b_{2}} + \dots + \frac{a_{n} ∣}{∣ b_{n}} = \frac{h_{n}}{k_{n}} & (1) \\ \forall n \in ℕ^{*} & \frac{b_{n}}{a_{n}} = - \frac{h_{n} k_{n - 2} - h_{n - 2} k_{n}}{h_{n} k_{n - 1} - h_{n - 1} k_{n}} & (2) \\ \forall n \in ℕ & h_{n - 1} k_{n} - h_{n} k_{n - 1} = Π_{i = 1}^{n} (- a_{i}) & (3) \end{matrix}

Modèle:Démonstration/début

(1) est l'évaluation de Modèle:Math en 0.
(2) résulte de Modèle:Math, en [[Fonction homographique#Définition|inversant ρModèle:Ind]].
(3) se déduit des formules matricielles, en calculant des déterminants.

Modèle:Démonstration/fin

Conversions

Si (cModèle:Ind)Modèle:Ind est une suite de complexes non nuls alors Modèle:Retrait c'est-à-dire que ces deux fractions continues ont mêmes réduites.

En particulier :

si tous les aModèle:Ind sont non nuls alors, en choisissant cModèle:Ind = 1/aModèle:Ind et cModèle:Ind = 1/(aModèle:IndcModèle:Ind), on se ramène à une fraction continue ordinaire :Modèle:Retrait
si tous les bModèle:Ind sont non nuls, on peut construire de même une suite (dModèle:Ind)Modèle:Ind telle que Modèle:Retraiten posant dModèle:Ind = 1/bModèle:Ind et pour n > 1, dModèle:Ind = 1/(bModèle:IndbModèle:Ind).

Ces deux conversions sont extrêmement utiles dans l'analyse du problème de convergence.

Une autre, également découverte par Euler^[4], permet de compacter une fraction continue simple ayant une « quasipériode » de longueur paire 2r en une fraction continue généralisée « presque » simple — ou inversement, de développer certaines fractions généralisées en fractions simples — en appliquant r fois la formule suivante :

Modèle:Retrait l'égalité signifiant ici que pour tout entier naturel k, la réduite d'indice k de la fraction généralisée de droite est égale à celle d'indice 3k de la fraction simple de gauche.

Modèle:Démonstration/début En notant Modèle:Retrait on a

U_{b} P = P V_{b} pour P = (\begin{matrix} m n + 1 & 0 \\ - m & 1 \end{matrix})

donc

U_{b_{1}} U_{b_{2}} \dots U_{b_{k}} P = P V_{b_{1}} V_{b_{2}} \dots V_{b_{k}} .

On conclut en appliquant à 0 les transformations de Möbius correspondantes et en remarquant que celle qui correspond à P fixe 0.

(La contrainte de parité sur la quasipériode s'explique par : Modèle:Math.) Modèle:Démonstration/fin

Équation du second degré

Modèle:Voir

Un exemple d'illustration de l'arrivée naturelle d'une fraction continue généralisée est l'équation du second degré. Étudions le cas particulier, correspondant à celle de Bombelli^[5], la première connue en Europe :

x^{2} - 6 x - 4 = 0 ou x = 6 + \frac{4}{x} .

En remplaçant x par sa valeur, on obtient, comme valeur de x :

(1) 6 + \frac{4}{x}, (2) 6 + \frac{4}{6 + \frac{4}{x}}, (3) 6 + \frac{4}{6 + \frac{4}{6 + \frac{4}{x}}} \dots

En notation de Pringsheim, la fraction ƒ prend la forme suivante :

f = 6 + \frac{4 ∣}{∣ 6} + \frac{4 ∣}{∣ 6} + \frac{4 ∣}{∣ 6} + \dots

Un calcul manuel montre que ses premières réduites sont 6, 20/3, 33/5, 218/33, 720/109. On démontre que cette suite tend vers une des deux racines : celle égale à 3 + Modèle:Racine. À l'époque de Bombelli, l'intérêt principal de cette fraction continue était d'offrir une méthode d'extraction de racine : le calcul de la fraction permet d'approcher Modèle:Racine avec toute la précision souhaitée.

Pour une solution d'une équation du second degré arbitraire, Euler écrit le même développement^[6]. On peut montrer (Modèle:Cf. article détaillé) que si l'équation a une racine double non nulle ou deux racines de modules distincts, cette fraction continue généralisée tend vers la racine de plus grand module mais que sinon, la fraction continue n'est pas convergente.

Développements en fractions continues généralisées de Modèle:Math et de Modèle:Math

La fraction continue de Modèle:Math n'offre aucune régularité donc son calcul est inextricable. Ce nombre admet en revanche de multiples développements en fractions continues généralisées. La première apparition d'une telle fraction est la formule de Brouncker :

\frac{4}{π} = 1 + \frac{1^{2}}{2 + \frac{3^{2}}{2 + \frac{5^{2}}{2 + . . .}}} .

Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions. De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue généralisée d'une forme appropriée :

Modèle:Centrer

dont on obtient :

e = 2 + \frac{2}{2 + \frac{3}{3 + \frac{4}{4 + \frac{5}{5 + . . .}}}} = 2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{2 + \frac{2}{3 + \frac{3}{4 + . . .}}}},

Voir la Modèle:OEIS.

Il obtient également la fraction continue simple :

Modèle:Centrer

donnant :

e = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + . . .}}}} .

Critère d'irrationalité

Modèle:Théorème

[[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π|On en déduit par exemple l'irrationalité de Modèle:Math]], démonstration due à Lambert en 1761.

Notes et références

Modèle:Crédit d'auteurs Modèle:Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Modèle:Article Modèle:Commentaire biblio
Modèle:En Un calculateur en ligne de fraction continue
Modèle:De Une illustration graphique de l'algorithme d'Euclide itéré pour le calcul d'une fraction continue (avec Cinderella).

Bibliographie

Roger Descombes, Éléments de théorie des nombres, PUF, 1986
Le Petit Archimède, Numéro spécial Modèle:Math
Modèle:Le fascinant nombre π
Marc Guinot, Arithmétique pour amateurs. Vol. 4 : Lagrange et Legendre, Aléas, 1996 Modèle:ISBN
Alain Faisant, L'équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991
Modèle:HardyWright
Jean Trignan, Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies, Éd. du Choix, 1994 Modèle:ISBN
Bulletin de l'APMEP Modèle:N°
Georges Valiron, Théorie des fonctions, Masson, Paris, 1966, Notions sur les fractions continues arithmétiques Modèle:P.

Modèle:Portail

↑ Les dénominateurs d'une fraction continue simple sont usuellement notés Modèle:Math, contrairement à ceux d'une fraction continue généralisée où ils sont le plus souvent notés Modèle:Math, les Modèle:Math désignant alors les numérateurs.
↑ Modèle:Article.
↑ Ces calculs, purement algébriques, restent valables génériquement, dans le corps de fractions rationnelles (à coefficients rationnels) d'indéterminées Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math Modèle:Etc.
↑ Modèle:La L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio, 1744, § 25.
↑ R. Bombelli, L'Algebra, 1572, Modèle:Cf. Modèle:MacTutor.
↑ Modèle:La L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18.

[1] Les dénominateurs d'une fraction continue simple sont usuellement notés Modèle:Math, contrairement à ceux d'une fraction continue généralisée où ils sont le plus souvent notés Modèle:Math, les Modèle:Math désignant alors les numérateurs.

[Dutka-2] Modèle:Article.

[3] Ces calculs, purement algébriques, restent valables génériquement, dans le corps de fractions rationnelles (à coefficients rationnels) d'indéterminées Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math Modèle:Etc.

[4] Modèle:La L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio, 1744, § 25.

[5] R. Bombelli, L'Algebra, 1572, Modèle:Cf. Modèle:MacTutor.

[6] Modèle:La L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18.

[1]

[2]

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[4]

[5]

[6]

Fraction continue généralisée

Sommaire

Notations

Transformations de Möbius

Réduites

Conversions

Équation du second degré

Développements en fractions continues généralisées de Modèle:Math et de Modèle:Math

Critère d'irrationalité

Notes et références

Voir aussi

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Conversions

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