Problème de convergence

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En mathématiques, et plus précisément dans la théorie analytique des fractions continues généralisées à coefficients complexes, le problème de convergence est la détermination de conditions sur les numérateurs partiels aModèle:Ind et les dénominateurs partiels bModèle:Ind qui soient suffisantes pour garantir la convergence de la fraction continue Modèle:Retrait c'est-à-dire la convergence de la suite de ses réduites Modèle:Retrait

Résultats élémentaires

Condition nécessaire et suffisante de convergence

Par définition, la fraction converge si et seulement si les BModèle:Ind sont non nuls à partir d'un certain rang et la série de terme général

AnBn−An−1Bn−1=(−1)n−1a1…anBn−1Bn

converge[1], où les AModèle:Ind et BModèle:Ind désignent les numérateurs et les dénominateurs des réduites, et l'égalité ci-dessus se déduit des formules sur les réduites. De plus, si les complexes Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions d'une variable z et si la convergence de la série est uniforme par rapport à z, il en est naturellement de même pour la convergence de la fraction continue.

Théorèmes de Stern-Stolz et de Seidel-Stern

Si tous les numérateurs partiels aModèle:Ind sont non nuls, on se ramène facilement par conversion au cas où ils sont égaux à 1. On dit alors que la fraction est régulière.

Pour une fraction régulière, on dispose de la majoration Modèle:Retrait D'après le critère ci-dessus, une condition nécessaire pour que cette fraction converge est donc que le produit infini des (1 + |bModèle:Ind|) diverge ou, ce qui est équivalent, que la série des |bModèle:Ind| diverge : c'est le théorème de Stern-Stolz[1]Modèle:,[2]Modèle:,[3]Modèle:,[4]Modèle:,[5]Modèle:,[6].

Pour une fraction à coefficients complexes, cette condition nécessaire de convergence n'est pas suffisante[7] : par exemple, la fraction de période 1 Modèle:Retrait ne converge pas, bien que la série de terme général |[[Unité imaginaire|Modèle:Math]]| = 1 soit grossièrement divergente.

Cependant, pour une fraction régulière dont tous les dénominateurs partiels bModèle:Ind sont des réels strictement positifs, cette condition nécessaire est également suffisante : c'est le théorème de Seidel-Stern[8]Modèle:,[9]Modèle:,[10]Modèle:,[11]. En effet, dans ce cas, la série équivalente à la fraction est alternée et les [[Fraction continue généralisée#Réduites|formules de récurrence sur les BModèle:Ind]] permettent de les minorer : Modèle:Retrait

Convergence conditionnelle et inconditionnelle

Contrairement à une série, une fraction

b0+a1∣∣b1+a2∣∣b2+⋯

peut très bien être convergente sans que ses « fractions extraites »

bn−1+an∣∣bn+an+1∣∣bn+1+⋯

le soient toutes. Par exemple[12] :

1+−1∣∣2+−1∣∣2+−1∣∣2+⋯=0

donc

1+1∣∣1+1∣∣1+−1∣∣2+−1∣∣2+−1∣∣2+⋯=1+1∣∣1+1∣∣0=1

mais

1+1∣∣1+−1∣∣2+−1∣∣2+−1∣∣2+⋯=+∞.

Une fraction convergente est dite inconditionnellement convergente lorsque toutes ses « fractions extraites » convergent, et conditionnellement convergente sinon[12]Modèle:,[13]. Désormais, sauf précision contraire, lorsqu'on parlera de convergence d'une fraction continue généralisée, il s'agira implicitement de la « bonne » notion : celle de convergence inconditionnelle qui, par définition, est héritée par les « fractions extraites »[12].

La convergence vers x d'une fraction est inconditionnelle si et seulement si aucune de ses réduites n'est égale à x[12]Modèle:,[13].

Fractions continues périodiques

Une fraction continue périodique[14] (dont un cas particulier est celle correspondant à un irrationnel quadratique) est une fraction continue dont les deux suites des numérateurs partiels et des dénominateurs partiels sont, à partir d'un certain rang, périodiques, et dont les numérateurs partiels sont non nuls. Pour les étudier, il suffit évidemment[15] de se concentrer sur celles dites « purement périodiques » avec de plus bModèle:Ind = 0, c'est-à-dire celles de la forme

x=a1∣∣b1+a2∣∣b2+⋯+ak∣∣bk+a1∣∣b1+a2∣∣b2+⋯+ak∣∣bk+⋯.

En appliquant la théorie des transformations de Möbius à Modèle:Retrait où AModèle:Ind, BModèle:Ind, AModèle:Ind et BModèle:Ind sont les numérateurs et les dénominateurs des réduites d'indices k – 1 et k de x, on montre que si x converge, elle converge vers un des points fixes de s(w). Plus précisément, soit r1 et r2 les racines de l'équation du second degré Modèle:Retrait qui sont les points fixes de s(w). Si Bk–1 n'est pas nul, x converge vers rModèle:Ind si et seulement si

  1. rModèle:Ind = rModèle:Ind ou
  2. la réduite d'indice k – 1 est plus proche de r1 que de r2 et, si k ≥ 2, aucune des k – 1 réduites précédentes (d'indices 0, … , k – 2) n'est égale à r2.

Si Bk–1 est nul, tous les Bnk–1 s'annulent aussi, et la fraction continue ne converge pas. Lorsqu'aucune des deux conditions précédentes n'est remplie, la suite des réduites oscille sans converger[15]Modèle:,[16]Modèle:,[17].

Cas particulier où la période est égale à 1

Modèle:Article détaillé Modèle:Article détaillé Si la période k vaut 1, c'est-à-dire si Modèle:Retrait (avec b non nul), alors AModèle:Ind/BModèle:Ind = 0/1 = 0, AModèle:Ind/BModèle:Ind = a/b et l'équation précédente devient : wModèle:2 + bw – a = 0, qui n'est autre que Modèle:Retrait D'après le résultat précédent, x converge vers rModèle:Ind si et seulement si rModèle:Ind = rModèle:Ind ou |rModèle:Ind| < |rModèle:Ind|.

La condition pour que la fraction Modèle:Retrait converge est bien sûr la même, et sa limite est alors b + rModèle:Ind, c'est-à-dire cette fois (puisque rModèle:Ind + rModèle:Ind = – b) la racine de plus grand module de l'équation vModèle:2 – bv – a = 0, qui n'est autre que Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration

En posant z = a/bModèle:2, la convergence de x et y a donc lieu si et seulement si les deux racines carrées de 1 + 4z sont soit égales, soit non équidistantes de 1, c'est-à-dire si et seulement si z n'est pas un réel < −1/4.

En particulier, la fraction Modèle:Retrait converge si et seulement si 1/bModèle:2 n'est pas un réel < −1/4, c'est-à-dire si le complexe b (supposé non nul) n'appartient pas à l'intervalle imaginaire pur Modèle:Math.

La convergence était prévisible pour b réel positif[18], par le théorème de Seidel-Stern vu plus haut (et pour b de module supérieur ou égal à 2, par le critère de Śleszyński-Pringsheim[19] ci-dessous).

Critère de Śleszyński-Pringsheim

Modèle:Article détaillé À la fin du dix-neuvième siècle, Ivan Śleszyński et Alfred Pringsheim montrèrent que si les numérateurs et dénominateurs partiels vérifient |bn| ≥ |an| + 1 pour n ≥ 1, alors

∀N∈ℕ∑n=1N|a1…anBn−1Bn|<1[20]

donc (Modèle:Cf. § « Condition nécessaire et suffisante de convergence » ci-dessus) la fraction

a1∣∣b1+a2∣∣b2+⋯

converge[21] et ses réduites sont de modules strictement inférieurs à 1. En utilisant des fractions de période 1, on peut d'ailleurs montrer[22] que l'« ensemble limite des fractions de Śleszyński-Pringsheim » — c'est-à-dire l'ensemble de toutes les limites de fractions vérifiant les hypothèses de ce théorème — est exactement le disque unité fermé.

Théorème de Worpitzky

Auparavant (en 1865[23]), Julius Worpitzky avait démontré, dans ce qui semble être Modèle:Citation, que si les numérateurs partiels aModèle:Ind de la fraction continue

a1∣∣1+a2∣∣1+a3∣∣1+⋯

sont tels que |aModèle:Ind| ≤ 1/4 alors la fraction converge, uniformément par rapport à z si les complexes Modèle:Math sont des fonctions d'une variable z.

Ce théorème se déduit aujourd'hui de celui de Śleszyński-Pringsheim, par l'équivalence de fractions Modèle:Retrait Il permit à Worpitzky de montrer que si

f(z)=1∣∣1+c2z∣∣1+c3z∣∣1+c4z∣∣1+⋯

et si |ci| ≤ 1/4 pour tout i, alors, pour |z| ≤ 1, la fraction f(z) converge uniformément, donc f est holomorphe sur le disque unité ouvert[23].

Il est immédiat que de plus, toutes les réduites de f(z) appartiennent au disque ouvert Ω de rayon 2/3 centré en 4/3 et que l'ensemble limite est le disque fermé [[Adhérence (mathématiques)|Modèle:Surligner]].

On peut aussi montrer que[24] 1/4 est le plus grand majorant des |cModèle:Ind| pour lequel la convergence de f(1) a toujours lieu.

Théorème de Van Vleck

Jones et Thron attribuent à Edward Burr Van Vleck le résultat suivant, qui généralise le théorème de Seidel-Stern. Si tous les ai valent 1, et si tous les bi ont des arguments tels que Modèle:Retrait où Modèle:Math est un nombre positif fixé inférieur à Modèle:Math (autrement dit si tous les bi sont dans un secteur angulaire d'ouverture Modèle:Math et symétrique autour de l'axe des réels positifs), alors la i-ième réduite fi de la fraction continue est située dans le même secteur, c'est-à-dire qu'elle vérifie Modèle:Retrait

Dans ce cas, les suites des réduites d'indice pair et des réduites d'indice impair convergent, mais pas forcément vers la même limite ; leur limite est commune (et alors la fraction continue converge) si et seulement si la série des |bModèle:Ind| est divergente[25].

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Bibliographie complémentaire

Modèle:Portail

  1. ↑ 1,0 et 1,1 Modèle:Ouvrage.
  2. ↑ Modèle:Ouvrage.
  3. ↑ Modèle:Ouvrage.
  4. ↑ Voir aussi Modèle:Ouvrage, sur le lien avec le travail de Modèle:Article.
  5. ↑ Modèle:Ouvrage.
  6. ↑ Modèle:Harvsp.
  7. ↑ Modèle:Harvsp.
  8. ↑ Modèle:Harvsp.
  9. ↑ Modèle:Harvsp.
  10. ↑ Modèle:Harvsp.
  11. ↑ Dans Modèle:Harvsp, le théorème de Seidel-Stern est présenté sous une forme un peu renforcée, incluant des énoncés sur la façon dont la suite des réduites converge.
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 et 12,3 Modèle:Harvsp.
  13. ↑ 13,0 et 13,1 Modèle:Article.
  14. ↑ Modèle:Harvsp.
  15. ↑ 15,0 et 15,1 Modèle:Ouvrage.
  16. ↑ Modèle:Article.
  17. ↑ Modèle:Article.
  18. ↑ Dans ce cas, Modèle:Math est égal à (Modèle:Racine – b)/2 : pour b = 2, on trouve ainsi la [[Racine carrée de deux#Développement en fraction continue|fraction continue de Modèle:Racine – 1]] et pour Modèle:Nobr celle de l'inverse du nombre d'or.
  19. ↑ Modèle:Harvsp.
  20. ↑ Plus précisément Modèle:Harv : Modèle:Nobr.
  21. ↑ Voir par exemple Modèle:Harvsp, Modèle:Lang 4.35.
  22. ↑ Modèle:Harvsp.
  23. ↑ 23,0 et 23,1 Modèle:Article.
  24. ↑ Modèle:En J. Findlay Paydon et H. S. Wall, « The continued fraction as a sequence of linear transformations », Duke Mathematical Journal, vol. 9, Modèle:N°, 1942, Modèle:P..
  25. ↑ Modèle:Harvsp, Modèle:Lang 4.29.
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