Produit infini

En mathématiques, le produit infini des termes d'une suite de nombres complexes $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est la limite, si elle existe, de la suite des produits partiels $a_0\cdot a_1\dots a_N$ quand Modèle:Mvar tend vers l'infini. On le note $\prod a_n$, la lettre grecque Modèle:Math étant habituellement le symbole de la multiplication :

$a_0\cdot a_1\cdot a_2\dots =\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\stackrel{\text{def}}{=}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{n=0}^N{a}_n$.

Convergence d'un produit infini

Définition

Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nulsModèle:Note, on dit que le produit infini converge quand la suite des produits partiels ${\left(\prod _{n=0}^N{a}_n\right)}_N$ converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini divergeModèle:,.

En cas de convergence

Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :

$(\mathrm{\exists }l\in {ℂ}^{*}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=l)\Rightarrow \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$.

La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple Modèle:Math).

Méthode d'étude classique

Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque Modèle:Mvar tend vers 1, il existe un rang $N\in \mathbb{N}$ tel que $\mathrm{\forall }n⩾N|a_n-1|<1$. On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a

$\prod _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\exp (\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\ln a_n)$.

Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.

On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Produit absolument convergent

Un produit $\prod a_n$ est dit absolument convergent si la série $\sum \ln (a_n)$ l'est, autrement dit si $\sum _n|\ln (a_n)|<+\mathrm{\infty }$. Un produit absolument convergent est donc convergent, et il est de plus commutativement convergent . Modèle:ThéorèmeOn verra dans les exemples que la condition sur $\sum b_n^2$ est importante.

Exemples

Exemples de produits infinis divergents

• Comme $\prod _{n=2}^N(1-\frac{1}{n})=1/N$, le produit infini $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n})$ diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
• Idem pour $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n})$ qui diverge vers l'infini.
• La divergence de la série des inverses des nombres premiers, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n}=+\mathrm{\infty }$ entraine celle des deux produits infinis correspondants :$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n})=0$ et $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{p_n})=+\mathrm{\infty }$.
• $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}})=0$ (car $a_{2p}{a}_{2p+1}=1-\frac{1}{2p}+o\left(\frac{1}{p}\right)$) mais on peut noter que $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ converge.

Exemples de produits infinis qui convergent, mais non absolument

• $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{(-1{)}^n}{n})=1$ car $(1+\frac{1}{2p})(1-\frac{1}{2p+1})=1$ mais $\sum |\ln (1+\frac{(-1{)}^n}{n})|$ diverge. Dans ce cas $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ converge également.
• Il existe des exemples de produit $\prod (1+b_n)$ convergents où la série $\sum b_n$ est divergente .

Exemples de produits infinis convergents classiques

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :

• $\frac{\pi }{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdots =\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cos \left(\frac{\pi }{2^n}\right)}$ (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
• $\frac{\pi }{2}=\frac{2\times 2}{1\times 3}\cdot \frac{4\times 4}{3\times 5}\cdot \frac{6\times 6}{5\times 7}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$ (produit de Wallis (1655))
• $\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{2^2}{2^2-1}\cdot \frac{3^2}{3^2-1}\cdot \frac{5^2}{5^2-1}\cdots =\prod _{p\text{ premier}}\frac{p^2}{p^2-1}$ (dû à Euler, voir produit eulérien)
• $\frac{\pi }{4}=\frac{3}{3+1}\cdot \frac{5}{5-1}\cdot \frac{7}{7+1}\cdot \frac{11}{11+1}\cdot \frac{13}{13-1}\cdots =\prod _{p\text{ premier impair}}\frac{p}{p+(-1{)}^{(p+1)/2}}$ (dû à Euler, voir produit eulérien)
• $\sqrt{2}=\frac{2\times 2}{1\times 3}\cdot \frac{6\times 6}{5\times 7}\cdot \frac{10\times 10}{9\times 11}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{(-1{)}^n}{2n-1})=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(4n+2{)}^2}{(4n+1)(4n+3)}\right)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{(4n+1)(4n+3)})$ (Euler (1796), Catalan (1875))
• $\mathrm{e}=\frac{2}{1}\sqrt{\frac{4}{3}}\sqrt{\sqrt{\frac{6\times 8}{5\times 7}}}\sqrt{\sqrt{\sqrt{\frac{10\times 12\times 14\times 16}{9\times 11\times 13\times 15}}}}\cdots$ (Catalan (1875))
• $\mathrm{e}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n+1}{a_n}=\frac{2}{1}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{16}{15}\cdot \frac{65}{64}\cdots$ où $(a_n)$ est définie par $a_0=0,a_n=n(a_{n-1}+1)$, suite Modèle:OEIS2C ; la formule vient du fait que $\prod _{n=1}^N\frac{a_n+1}{a_n}=\sum _{n=0}^N\frac{1}{n!}$
• $\ln 2=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{1+2^{1/2^n}}=\frac{2}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{2}}}\cdot \frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}\cdot \cdots$ (Seidel (1871))
• $\sqrt{2}=\prod _{n⩾0}{\left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)}^{(-1{)}^{t_n}}=\frac{2}{1}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{8}{7}\times ...$ où $(t_n)$ est la suite de Prouhet-Thue-MorseModèle:,Modèle:,
• $\sqrt{2}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{a_n})=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{17})(1+\frac{1}{577})\cdots$, avec $a_0=3$ et $a_{n+1}=2a_n^2-1$, produit infini de Cantor (1869).

Autres exemples

Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple :

• $\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+x^{2^n})=\frac{1}{1-x},|x|<1$
• mais on a seulement $\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2^n})=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{t_n}{x}^n,|x|<1$, où $(t_n)$ est la suite de Prouhet-Thue-Morse
• ainsi que $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^{n(3n-1)/2}=\frac{1}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(n)x^n},|x|<1$, où $p(n)$ est le nombre de partitions de Modèle:Mvar, fonction d'Euler
• $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n^2})=\frac{1}{2}$, produit télescopique
• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(an{)}^2})=\frac{a}{\pi }\sin \frac{\pi }{a}$
• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^m})=\prod _{{\omega }^m=-1}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\omega )}$, Modèle:Mvar entier $⩾2$, en particulier :
  • $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^2})=\frac{\sinh \pi }{\pi }$, constante Modèle:OEIS2C, d'où $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n^4})=\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n^2})\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^2})=\frac{\sinh \pi }{4\pi }$
  • $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^3})=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n(n+1)})=\frac{\cosh \frac{\pi \sqrt{3}}{2}}{\pi }$, constante Modèle:OEIS2C, d'où $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n^3})=\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{n^3-1}{n^3+1}\right)\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^3})=\frac{\cosh \frac{\pi \sqrt{3}}{2}}{3\pi }$
  • $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^4})=\frac{\cosh \pi \sqrt{2}-\cos \pi \sqrt{2}}{2{\pi }^2}$, constante Modèle:OEIS2C
• $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{n(n+1)})=\frac{\sin (\pi /\phi )}{\pi }$ où $\phi$ est le nombre d'or, constante Modèle:OEIS2C
• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4n(n+1)})=\frac{4}{\pi }$
• $\prod _{p\text{ premier}}(1-\frac{1}{p^2})=\frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{{\pi }^2}$, constante Modèle:OEIS2C ; $\prod _{p\text{ premier}}(1+\frac{1}{p^2})=\frac{15}{{\pi }^2}$, constante Modèle:OEIS2C
• $\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}}(1-\frac{1}{p(p-1)})=0,3739558136\dots$, constante d'Artin ; $\prod _{p\text{ premier}}(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{\zeta (2)\cdot \zeta (3)}{\zeta (6)}$, sommes des inverses des nombres puissants.
• $\prod _{p\text{premier impair}}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})=0,660161\dots$, constante des nombres premiers jumeaux, Modèle:OEIS2C
• $\prod _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{\pi }{n}=0,1149420448\dots$, constante de Kepler-Bouwkamp
• $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cosh \frac{1}{n}=2,1164655365\dots$, constante Modèle:OEIS2C
• $\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{e}{(1-\frac{1}{n^2})}^{n^2}=\frac{\pi }{{\mathrm{e}}^{3/2}}$, constante Modèle:OEIS2C.

Fonctions exprimées comme produits infinis

Premiers exemples

• $\sin z=z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{z}{2^n}$.

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant Modèle:Math.

En changeant Modèle:Mvar en Modèle:Math, on obtient :

• $\sinh z=z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cosh \frac{z}{2^n}$.

En prenant $z=\ln x$ dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithmeModèle:,:

• $\ln x=(x-1)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{1+x^{1/2^n}}$, formule donnant, pour Modèle:Math, l'expression de Modèle:Math ci-dessus.
• $\zeta (z)=\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^z}=\prod _{p\mathrm{premier}}\frac{p^z}{p^z-1}$ pour Modèle:Math, développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour Modèle:Math le développement de Modèle:Math ci-dessus.
• $\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^z}=\prod _{p\mathrm{premier}\mathrm{impair}}\frac{p^z}{p^z+(-1{)}^{\frac{(p-1)}{2}}}$ pour Modèle:Math, donnant, pour Modèle:Math, le développement de Modèle:Math ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière Modèle:Mvar (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si Modèle:Mvar a un zéro d'ordre Modèle:Mvar à l'origine et d'autres zéros en $u_0,u_1,u_2,\dots$ (comptés avec multiplicité), alors :

$f(z)=z^m{\mathrm{e}}^{\phi (z)}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{u_n})\exp \{\frac{z}{u_n}+{\left(\frac{z}{u_n}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{z}{u_n}\right)}^{{\lambda }_n}\}$

où les exposants ${\lambda }_n$ sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et $\phi (z)$ est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des ${\lambda }_n$ et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier Modèle:Mvar minimal tel que le choix constant ${\lambda }_n=p$ donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque Modèle:Math convient, on obtient :

$f(z)=z^m{\mathrm{e}}^{\phi (z)}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{u_n})$.

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque $\phi$ est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquables

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

La fonction sinus	$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$	Formule due à Euler — le développement de Wallis pour Modèle:Math ($z=1/2$), la valeur de $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^2})$ ci-dessus ($z=\mathrm{i}$) , et la valeur de $\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}$ (terme en $z^3$) peuvent être obtenus à partir de cette identité.
La fonction cosinus	$\cos \pi z=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2}{)}^2})$	Voir — donne pour $z=1/4$ le développement $\sqrt{2}=2\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4(2n-1{)}^2})$.
La fonction gamma d'Euler	$1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\mathrm{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\mathrm{e}}^{-z/n}$	Formule due à Schlömilch — la valeur de $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^m})$ ci-dessus est issue de cette identité.

Équivalent d'un produit infini divergent classique

Pour un produit infini divergent, on peut chercher un équivalent du produit partiel. Par exemple, on a pour tout $a\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$ :

• $\prod _{k=1}^n(1+\frac{a}{k})\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{n^a}{\mathrm{\Gamma }(a+1)}$

avec $\mathrm{\Gamma }$ la fonction gamma d'Euler définie dans $ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}$ par la définition d'Euler en produit infini. L'équivalent se trouve après quelques manipulations faciles.

Notons que si $a\in \{0,-1,-2,\dots \}$, le produit infini est alors trivialement convergent (il vaut $1$ si $a=0$ et $0$ sinon).

Donnons deux équivalents classiques découlant de cette formule, en usant des valeurs classiques $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)$ et $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)$, il vient :

• $\prod _{k=1}^n(1+\frac{1}{2k})\sim \frac{2\sqrt{\pi }}{\pi }\sqrt{n}$
• $\prod _{k=1}^n(1-\frac{1}{2k})\sim \frac{\sqrt{\pi }}{\pi }\frac{1}{\sqrt{n}}$

Voir aussi

Articles connexes

• Produit eulérien
• Test de convergence
• Théorème des nombres pentagonaux
• Triple produit de Jacobi