Fonction d'Euler

Module de $\varphi$ dans le plan complexe, coloré de sorte que noir = 0, rouge = 4.

En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k).$

Portant le nom de Leonhard Euler, elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire fournissant un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de $\varphi$ comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer : $\varphi (q):=(q,q{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Propriétés

Le coefficient $p(k)$ dans le développement en série formelle de $1/\varphi (q)$ est le nombre de partitions de l'entier $k$. Formellement,

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$.

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{n(3n-1)/2}.$

Dans cette somme, les nombres $n(3n-1)/2$ sont les nombres pentagonaux.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe $\tau$ de partie imaginaire positive, on définit $q={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi \tau }$ (c'est le carré du Modèle:Lien), et la fonction êta est définie par

$\eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)=q^{1/24}\varphi (q)$.

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

$\varphi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}$

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :

$\ln (\varphi (q))=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\frac{q^n}{1-q^n}$

qui est une série de Lambert avec coefficients $-1/n$. Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

$\ln (\varphi (q))=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$ avec $b_m=-\sum _{n|m}\frac{1}{n}$.

La suite des $-b_m$ est la Modèle:OEIS.

Références

• Modèle:Ouvrage