Q-analogue

Modèle:Titre mis en forme En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au Modèle:S-.

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres q-déforméesModèle:Refsou.

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson, et les q-analogues non classiques.

q-théorie classique

q-dérivée

La dérivée d'une fonction de variable réelle $f$ en $x$ est la limite du taux d'accroissement $\tau =\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}$ quand $x^{\prime }$ tend vers $x$, et on appelle traditionnellement $h$ la différence $x^{\prime }-x$ de sorte que $\tau =\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Mais, pour $x$ non nul, on peut aussi noter $q$ le quotient $x^{\prime }/x$ de sorte que $\tau =\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}$. C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de $f$ en $x$, laquelle tend bien vers $f^{\prime }(x)$ quand $q$ tend vers 1, si $f$ est dérivable en $x$. On note alors que la q-dérivée de la fonction $x\mapsto x^n$ vaut $\frac{q^n-1}{q-1}{x}^{n-1}$, qui tend bien vers la dérivée $n{x}^{n-1}$ lorsque $q$ tend vers 1. Ceci justifie les définitions suivantes.

q-entier

On définit le q-analogue de l'entier positif $n$ par :

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{q^n-1}{q-1}=1+q+q^2+\dots +q^{n-1}.$

q-factorielle

On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier $n$ par :

$n{!}_q$	$=[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdots [n-1{]}_q\cdot [n{]}_q$
	$=\frac{1-q}{1-q}\cdot \frac{1-q^2}{1-q}\cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$
	$=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que $n!$ est le nombre de permutations d'ordre $n$, $n{!}_q$ compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note $\text{inv}(\sigma )$ le nombre d'inversions de la permutation $\sigma$ et $S_n$ l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : $\sum _{\sigma \in S_n}{q}^{\text{inv}(\sigma )}=n{!}_q$.

La q-factorielle a aussi une écriture concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

$n{!}_q=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}$.

La fonction q-gamma prolonge la q-factorielle aux nombres réels.

Coefficients q-binomiaux

À partir de la q-factorielle, on définit les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss , q-analogues des coefficients binomiaux :

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{n{!}_q}{(n-k){!}_{q}k{!}_q}$, notés aussi ${\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q$.

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle

$e_q(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n{!}_q}$,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

Voir aussi

Article connexe

q-dérivée

Liens externes

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