Q-exponentielle

En mathématiques combinatoires, une q-exponentielle est un q-analogue de la fonction exponentielle, à savoir la fonction propre d'un opérateur de q-dérivation. Il existe de nombreuses q-dérivées, par exemple la q-dérivée classique, l'opérateur d'Askey-Wilson, etc. Par conséquent, contrairement à l'exponentielle classique, les q-exponentielles ne sont pas uniques. Par exemple, $e_q(z)$ est la q-exponentielle correspondant à la q-dérivée classique tandis que ${ℰ}_q(z)$ sont des fonctions propres des opérateurs d'Askey-Wilson.

La q-exponentielle est également connue sous le nom de dilogarithme quantiqueModèle:,.

Définition

La q-exponentielle $e_q(z)$ correspondant à la q-dérivée classique est définie par

$e_q(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n{!}_q}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n(1-q{)}^n}{(q;q{)}_n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n\frac{(1-q{)}^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

où $n{!}_q$ est la q-factorielle et

$(q;q{)}_n=(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots (1-q)$

est le q-symbole de Pochhammer. Qu'il s'agisse du q-analogue de l'exponentielle découle de la propriété

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}_q{e}_q(z)=e_q(z)$

où la dérivée dans le membre de gauche est la q-dérivée. Ce qui précède est facilement vérifié en considérant la q-dérivée du monôme

${\left(\frac{d}{dz}\right)}_q{z}^n=z^{n-1}\frac{1-q^n}{1-q}=[n{]}_q{z}^{n-1},$

où ici, $[n{]}_q$ est le q-symbole de Pochhammer. Pour d'autres définitions de la fonction q-exponentielle, voir Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) et Cieśliński (2011) .

Propriétés

Pour tout réel $q>1$, la fonction $e_q(z)$ est une fonction entière de $z$. Pour $q<1$, $e_q(z)$ est régulière sur le disque $|z|<1/(1-q)$.

La fonction et son inverse sont liées par $e_q(z)e_{1/q}(-z)=1$.

Formule d'addition

L'analogue de la relation $\exp (x)\exp (y)=\exp (x+y)$ n'est pas réalisée pas pour $x$ et $y$ réels . Cependant, s'il s'agit d'opérateurs satisfaisant la relation de commutation $xy=qyx$, alors la relation $e_q(x)e_q(y)=e_q(x+y)$ est exacte.

Relations

Pour $-1<q<1$, une fonction étroitement liée est $E_q(z).$ C'est un cas particulier des séries hypergéométriques basiques,

$E_q(z)={}_1{\varphi }_1(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0};z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}(-z{)}^n}{(q;q{)}_n}={\prod }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-q^{n}z)=(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}.$

Il vient naturellement :

$\underset{q\to 1}{\lim }{E}_q(z(1-q))=\underset{q\to 1}{\lim }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}(1-q{)}^n}{(q;q{)}_n}(-z{)}^n={\mathrm{e}}^{-z}.$

Relation avec le dilogarithme

$e_q(x)$ a la représentation en produit infini suivante :

$e_q(x)=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^k(1-q)x}.$

Comme d'autre part, $\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}$, pour $|q|<1$,

$\begin{array}{cc}\ln e_q(x)& =-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\ln (1-q^k(1-q)x)\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(q^k(1-q)x{)}^n}{n}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{((1-q)x{)}^n}{(1-q^n)n}\\ & =\frac{1}{1-q}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{((1-q)x{)}^n}{[n{]}_{q}n}\end{array}.$

En prenant la limite lorsque $q\to 1$,

$\underset{q\to 1}{\lim }(1-q)\ln e_q\left(\frac{x}{1-q}\right)={\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x),$

où ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x)$ est le dilogarithme.

Références

Bibliographie

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