Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

S (q) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}}

.

Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

S (q) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \sum_{k = 1}^{\infty} q^{n k} = \sum_{m = 1}^{\infty} b_{m} q^{m}

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de Modèle:Math avec la fonction constante Modèle:Math :

b_{m} = (a * 𝟏) (m) = \sum_{n ∣ m} a_{n}

.

Exemples

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

la série de Lambert de la fonction de Möbius Modèle:Math est la série génératrice ordinaire de Modèle:Math ✻ Modèle:Math = [[Symbole de Kronecker|δModèle:Ind]] : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{μ (n) q^{n}}{1 - q^{n}} = q$ ;
celle de Modèle:Math est la série ordinaire de la fonction Modèle:Math (nombre de diviseurs) : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} q^{n} σ_{0} (n)$ ;
plus généralement, celle de la fonction puissance Modèle:Math Modèle:Ind(n) = nModèle:Exp (où Modèle:Math est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Modèle:Math Modèle:Ind ✻ Modèle:Math = Modèle:Math ([[fonction diviseur|somme des puissances Modèle:Math-ièmes des diviseurs]]) : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{a} q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} q^{n} σ_{a} (n)$ ;
de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{J_{k} (n) q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{m = 1}^{\infty} m^{k} q^{m}$ . En particulier,
la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler Modèle:Math est : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{φ (n) q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{m = 1}^{\infty} m q^{m} = \frac{q}{(1 - q)^{2}}$

Les séries de Lambert dans lesquelles les Modèle:Math sont des fonctions trigonométriques, par exemple, Modèle:Math, peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.