Fonction puissance

En mathématiques, et plus spécialement en analyse, les fonctions puissances sont les fonctions Modèle:Mvar notées

$f_a:x\mapsto x^a$

où Modèle:Mvar, que l'on appelle l'exposant de la fonction puissance, peut désigner un entier naturel, un entier relatif, un nombre rationnel, un réel quelconque voire un complexe. Selon la nature de Modèle:Mvar, l'ensemble de définition de la fonction Modèle:Mvar peut changer.

Définie en général comme fonction de la variable réelle, on peut la trouver dans certains cas comme fonction complexe. Les fonctions puissances à exposant entier servent de base dans la construction des fonctions polynomiales et dans les développements en séries. Les fonctions puissances à exposant réel servent à modéliser des relations tant en physique qu'en biologie ou en économie.

Fonction de la variable réelle

Exposant entier naturel

Fonctions puissances pour un exposant 0 (noir), 1 (bleu), 2 (rouge), 3 (vert), 4 (orange), 5 (violet).

Ce sont les fonctions définies sur ℝ par

$f_n(x)=x^n=\underset{n}{\underbrace{x\times \cdots \times x}}.$

Pour Modèle:Mvar pair, la fonction associée est paire, c'est-à-dire que, pour tout réel Modèle:Mvar, Modèle:Math, et la courbe représentative possède l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Pour Modèle:Mvar impair, la fonction est impaire, c'est-à-dire que, pour tout réel Modèle:Mvar, Modèle:Math, et la courbe représentative possède le point O comme centre de symétrie.

Les premières valeurs de n correspondent à des fonctions de référence :

• pour Modèle:Math, il s'agit de la fonction identité Modèle:Math ;
• pour Modèle:Math, il s'agit de la fonction carré ;
• pour Modèle:Math, il s'agit de la fonction cube ;
• pour Modèle:Math, par convention, la fonction x ↦ xModèle:Exp est la fonction constante Modèle:Math .

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses entre –1 et 1, et plus sa pente est raide en dehors de cet intervalle. En particulier, si Modèle:Math, alors pour tout Modèle:Mvar de l'intervalle Modèle:Math, Modèle:Math et pour tout Modèle:Mvar strictement supérieur à 1, Modèle:Math.

La fonction constante 1 étant mise à part, les fonctions puissances sont toutes strictement croissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours plus l'infini et leur valeur en 0 est toujours 0. Pour un exposant strictement supérieur à 1, la courbe possède, en plus l'infini et en moins l'infini, une branche parabolique d'axe Modèle:Math. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est décroissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement croissante. Si l'exposant est impair et différent de 1, la courbe possède un point d'inflexion à l'origine.

Une fonction puissance est toujours dérivable sur Modèle:Math. Si l'exposant est nul, la dérivée de Modèle:Mvar est nulle ; sinon, sa fonction dérivée est : Modèle:Retrait Ceci peut se démontrer par exemple en revenant à la définition du nombre dérivé et en utilisant le binôme de Newton.

Enfin, une telle fonction possède toujours des primitives définies par

$F_n(x)=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{.}$

Les fonctions puissances à exposant entier servent à construire les fonctions polynomiales. On les retrouve aussi dans le développement en série entière des autres fonctions.

Exposant entier négatif

Fonctions puissances pour un exposant –1 (bleu), –2 (rouge), –3 (vert).

Ce sont les fonctions définies sur Modèle:Math par Modèle:Retrait [[#Exposant entier naturel|De même que Modèle:Math]], la fonction Modèle:Math est paire pour Modèle:Mvar pair et impaire pour Modèle:Mvar impair.

La première valeur de Modèle:Mvar correspond à une fonction de référence :

• pour Modèle:Math, il s'agit de la fonction inverse. C'est la seule des fonctions puissances dont la représentation graphique donne une hyperbole.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses avant –1 et après 1, et plus sa pente est raide dans les intervalles Modèle:Math et Modèle:Math. En particulier, si Modèle:Math alors, pour tout Modèle:Mvar de l'intervalle Modèle:Math, Modèle:Math et pour tout Modèle:Mvar supérieur à 1, Modèle:Math.

Ces fonctions puissances sont toutes strictement décroissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours 0 et leur limite en 0 par valeurs positives est toujours plus l'infini. La courbe possède donc deux asymptotes, d'équations Modèle:Math et Modèle:Math. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est croissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement décroissante.

Une telle fonction puissance est toujours dérivable sur Modèle:Math : Modèle:Retrait

En effet, Modèle:Retrait

Une telle fonction possède toujours des primitives définies sur Modèle:Math ou sur Modèle:Math par Modèle:Retrait ou par Modèle:Retrait

Racines n-ièmes et exposants rationnels

Fonctions puissances pour un exposant 1/2 (bleu), 1/3(rouge).

Pour tout entier naturel non nul n, la fonction Modèle:Math est une bijection

• de Modèle:Math sur Modèle:Math si n est pair
• de ℝ sur ℝ si n est impair

Elle a donc une réciproque qui s'appelle la racine n-ième et peut aussi s'écrire sous forme de puissance : Modèle:Retrait

Sa limite en Modèle:Math est toujours Modèle:Math mais la courbe est tournée vers l'axe des abscisses. On parle alors de branche parabolique d'axe Ox. Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de Modèle:Math est symétrique de celle de Modèle:Math (restreinte éventuellement à Modèle:Math) par rapport à la droite d'équation Modèle:Math.

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition sauf en 0 où la courbe possède pour tangente l'axe des ordonnées. La dérivée de Modèle:Math se calcule à l'aide de la dérivée de la fonction réciproque et s'exprime par : Modèle:Retrait Modèle:Démonstration Elle possède sur son ensemble de définition des primitives définies par

$F_{1/n}(x)=\frac{n}{n+1}x\cdot x^{1/n}+\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{e}.$

Il est possible, à partir des fonctions racines, d'étendre la définition des fonctions puissance à tout exposant rationnel comme suit : Modèle:Retrait

Exposant réel

Fonctions puissances pour un exposant -0,5 (rouge), 0 (noir), 0,6 (vert), 1(bleu), 1,7 (violet)

Étude générale

Grâce aux fonctions exponentielle et logarithme, on peut généraliser les fonctions puissances à tout exposant Modèle:Mvar réel. Pour tout réel Modèle:Mvar strictement positif, la fonction Modèle:Mvar est alors définie par:

$f_a(x)=x^a={\mathrm{e}}^{a\ln (x)}$

Selon les valeurs de Modèle:Mvar, elle est parfois prolongeable par continuité en 0 (voire à Modèle:Math ou Modèle:Math (cf supra)). Selon les valeurs de Modèle:Mvar, le prolongement peut ou non être dérivable en 0. le sens de variation dépend du signe de Modèle:Mvar.

La convexité d'une fonction est liée au signe de sa dérivée seconde. Ici la convexité d'une fonction puissance est liée au signe de Modèle:Math.

Tableau récapitulatif

Valeur de a	Prolongeable en 0	Dérivable en 0	Sens de variation	Comportement à l'infini	Convexité
Modèle:Math	non	non	décroissante	asymptote d:y = 0	convexe
Modèle:Math	oui	oui	constante	confondue avec d:y=1	droite
Modèle:Math	oui	non	croissante	branche parabolique d'axe Ox	concave
Modèle:Math	oui	oui	croissante	confondue avec d:y=x	droite
Modèle:Math	oui	oui	croissante	branche parabolique d'axe Oy	convexe

Dérivée et primitive

La fonction puissance est toujours dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée s'exprime toujours sous la forme

${f_a}^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$

Pour un exposant Modèle:Mvar différent de -1, elle possède toujours des primitives sur ce même intervalle définies par

$F_a(x)=\frac{x^{a+1}}{a+1}$

Pour l'exposant –1, on retrouve comme primitive la fonction logarithme népérien appelé aussi parfois logarithme hyperbolique en référence à l'aire sous l'hyperbole représentant la fonction inverse.

Croissances comparées

Modèle:Article détaillé Les fonctions logarithmes et exponentielle de base Modèle:Math et les fonctions puissances d'exposant Modèle:Math ont toutes une limite infinie en Modèle:Math. Il est donc intéressant de définir leur force respective et de comparer leur croissance.

On démontre qu'en Modèle:Math, l'exponentielle est toujours plus forte que la puissance et cette dernière est toujours plus forte que le logarithme.

Cela signifie que pour tout Modèle:Math et tout Modèle:Math,

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b^x}{x^a}=+\mathrm{\infty }\mathrm{e}\mathrm{t}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\log }_b(x)}{x^a}=0.$

Infiniment petit et fonction höldérienne

Modèle:Ancre Modèle:Voir Pour Modèle:Mvar strictement positif, on a $\underset{x\to 0}{\lim }{f}_a(x)=0$. On peut dès lors chercher à comparer la force de cette convergence avec la force de convergence d'autres fonctions.

Ainsi on dira que Modèle:Math est un infiniment petit d'ordre supérieur ou égal à n au voisinage de 0 si $\frac{f(x)}{x^n}$ est borné sur un intervalle ouvert contenant 0Modèle:,.

On dit que Modèle:Math est [[Condition de Hölder|Modèle:Mvar-höldérienne]] sur un intervalle Modèle:Math s'il existe un réel Modèle:Math tel que, pour tous réels Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de Modèle:Mvar,

$|f(x)-f(y)|\le M|x-y{|}^a.$

En général, on prend Modèle:Mvar compris entre 0 et 1 car si Modèle:Mvar est strictement supérieur à 1, cette condition conduit à dire que Modèle:Math est constante sur Modèle:Math.

La fonction puissance d'exposant Modèle:Mvar, pour Modèle:Math, est l'exemple le plus simple de fonction Modèle:Mvar-höldérienne. En effet, pour tous réels Modèle:Math,

$0\le x^a-y^a\le (x-y{)}^a$.

Fonction à rapport constant

Par conséquent, une fonction Modèle:Math continue en au moins un point est proportionnelle à une fonction puissance si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : des rapports de Modèle:Math égaux induisent des rapports de Modèle:Math égaux, c'est-à-dire :

$\text{si }\frac{x}{y}=\frac{u}{v}\text{ alors }\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{f(u)}{f(v)}.$

Développement en série

Modèle:Article détaillé La fonction Modèle:Mvar est développable en série entière au voisinage de Modèle:Math selon la formule

$(x_0+x{)}^a=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n})x_0^{a-n}{x}^n.$

où

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{n})=\frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}\text{et}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{0})=1$

sont des coefficients binomiaux généralisés.

On remarque que pour Modèle:Mvar entier naturel, la somme comporte un nombre fini de termes : il s'agit de la formule du binôme. Le rayon de convergence de cette série est alors infini.

Si Modèle:Mvar n'est pas entier naturel, la somme comporte une infinité de termes et le rayon de convergence est de $x_0$. Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Utilisations

La multiplicité des formes de courbes de fonctions puissances en fait de bons candidats pour des modélisations de phénomènes en physique, biologie, allométrie ou économie. Dès que l'on observe que la courbe exprimant y en fonction de x a une allure ressemblant aux courbes précédemment décrites, on peut proposer un modèle de la forme

$y=K{x}^a$

Par abus de langage, on parle alors encore de fonctions puissances et l'on écrit que Modèle:Mvar est une fonction puissance de Modèle:Mvar.

On cherche aussi une modélisation de ce type dès que des rapports égaux entre valeurs de Modèle:Mvar induisent des rapports égaux entre les valeurs de Modèle:Mvar.

Dans cette modélisation, il s'agit de trouver la meilleure valeur de Modèle:Mvar et de Modèle:Mvar modélisant cette relation. On peut chercher Modèle:Mvar sous forme rationnelle, on cherche alors deux entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tels que

$y^q=K^{\prime }{x}^p$,

ou encore deux entiers relatifs pModèle:' et q tels

$y^q{x}^{p^{\prime }}=K^{\prime }$.

Pour des courbes de type Modèle:Math, on cherche Modèle:Mvar et Modèle:Mvar positifs ; pour des courbes de type Modèle:Math, on cherche des entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de signes contraires, l'exposant de Modèle:Mvar étant, en valeur absolue, supérieur à l'exposant de Modèle:Mvar. Enfin, pour Modèle:Math, on cherche des exposants de signes contraires, celui de Modèle:Mvar étant en valeur absolue plus grand que celui de Modèle:Mvar.

Période (en millions de secondes) des trajectoires des planètes du Système solaire en fonction du demi-grand axe (en millions de km).

Ainsi par exemple pour mettre en place la troisième loi de Kepler, donnant la relation entre le demi-grand axe de la trajectoire d'une planète et la période de celle-ci, on peut observer que la courbe donnant la période en fonction du demi-grand axe est du type puissance avec Modèle:Math. À partir du tableau de mesures,

Planète	demi grand axe R en Modèle:Unité	période T en Modèle:Unité
Mercure	57,9	7,58
Vénus	108,2	19,36
Terre	149,6	31,47
Mars	227,9	59,19
Jupiter	778,3	373,32

on cherche donc à vérifier si T/RModèle:2 ou TModèle:2/RModèle:3 est constante. La seconde tentative est la bonne et donne une constante d'environ Modèle:Math.

Lorsque la relation est plus compliquée, il est préférable de procéder à un ajustement logarithmique. En effet, si la relation entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est telle que

$y=K{x}^a$

alors il doit exister une relation affine entre ln(x) et ln(y) :

$\ln (y)=a\ln (x)+\ln (K)$

Un ajustement linéaire sur le nuage de points (ln(x), ln(y)) permet alors de retrouver la fonction puissance liant Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Si

$\ln (y)=m\ln (x)+p$

alors

$y={\mathrm{e}}^p{x}^m$

Pour vérifier si un ajustement sous forme de fonction puissance est envisageable, il suffit donc de placer le nuage de points dans un repère log-log. Si les points semblent alignés, un ajustement par une fonction puissance est envisageable.

Dans le domaine économique, les courbes de concentration de Lorenz donnent sur l'intervalle [0;1] des courbes que l'on peut modéliser par des fonctions puissances. Cette modélisation est légitime lorsque les phénomènes étudiés suivent tous deux une loi de Pareto.

Fonction de la variable complexe

Pour la variable complexe, on peut définir sur $ℂ$, la fonction $z\mapsto z^n$, pour tout entier naturel n. Ces fonctions servent à construire les fonctions polynomiales sur $ℂ$ et à construire le développement en série des fonctions holomorphes. Il est aussi possible de définir sur ${ℂ}^{*}$, la fonction $z\mapsto z^n$, pour tout entier négatif.

Mais il n'est pas possible de définir sur ${ℂ}^{*}$ de manière univoque Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar est un complexe ou réel. En effet, il faut se limiter à un ouvert de ${ℂ}^{*}$ dans lequel il existe une détermination Modèle:Mvar du logarithme complexe. Dans un tel ouvert, Modèle:Mvar est alors une fonction holomorphe définie par:

$f_a(z)=\exp (aL(z))=z^a$