Fonction multiplicative

En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : ℕ* → ℂ vérifiant les deux conditions suivantes :

• f(1) = 1 ;
• pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b).

Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :

• g(1) = 1 ;
• pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).

Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.

Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.

Détermination et exemples

Une fonction multiplicative ƒ est entièrement déterminée par ses valeurs en les puissances non nulles des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n > 0 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre près des facteurs :

$n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{k_i}$

où les pModèle:Ind sont des nombres premiers et les kModèle:Ind des entiers naturels, avec (pour assurer l'unicité) : la suite finie des pModèle:Ind est strictement croissante et chaque kModèle:Ind (appelé la [[Valuation p-adique|valuation pModèle:Ind-adique]] de n) est non nul.

En appliquant ƒ, il vient :

$f(n)=\prod _{i=1}^{r}f(p_i^{k_i}).$

Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite de nombres complexes indexée par les puissances non nulles des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.

Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :

$g(n)=\prod _{i=1}^{r}g(p_i{)}^{k_i}.$

Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions complètement multiplicatives.

Exemples

La liste suivante fournit des fonctions dont l'intérêt est historique et/ou théorique :

Exemples de fonctions complètement multiplicatives

• la fonction puissance Modèle:MathModèle:Ind : Modèle:MathModèle:Ind(n) = nModèle:Exp, où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe), en particulier
  • la fonction constante Modèle:Math = Modèle:MathModèle:Ind : Modèle:Math(n) = 1 et
  • l'application identité Modèle:Math = Modèle:MathModèle:Ind : Modèle:Math(n) = n ;
• la fonction indicatrice du singleton {1}, Modèle:MathModèle:Ind = [[Symbole de Kronecker|δModèle:Ind]] : δModèle:Ind(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δModèle:Ind(n) = 0 (c'est l'élément neutre pour la convolution de Dirichlet) ;
• la fonction λ de Liouville : λ(n) = (–1)Modèle:Exp, où la fonction complètement additive Ω associe à tout n le nombre de ses facteurs premiers (comptés avec leurs multiplicités) ;
• tous les caractères de Dirichlet, comme
  • l'application $n\mapsto \left(\frac{n}{p}\right),$ qui associe à tout n le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé.

Exemples de fonctions seulement multiplicatives

• la fonction totient de Jordan Modèle:Math, qui associe à tout n le nombre de [[n-uplet|Modèle:Math-uplets]] d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un [[Nombres premiers entre eux#Extension à n nombres|Modèle:Math-uplet de nombres premiers entre eux]], en particulier
  • l'indicatrice d'Euler φ = Modèle:Math
• la fonction μ de Möbius : si n est sans carré, produit de k nombres premiers distincts, alors μ(n) = (–1)Modèle:Exp et sinon, μ(n) = 0,
• la fonction radical d'un entier : le produit de ses diviseurs premiers,
• l'application n ↦ [[PGCD de nombres entiers|Modèle:Math(n, m)]], l'entier m étant fixé,
• la fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs σModèle:Ind qui associe à tout n la somme des puissances k-ièmes de ses diviseurs positifs (où k peut être un nombre complexe quelconque), en particulier :
  • la fonction nombre de diviseurs d = σModèle:Ind (aussi notée Modèle:Math) et
  • la fonction somme des diviseurs σ = σModèle:Ind ;
• l'analogue suivant de la fonction λ de Liouville : n ↦ (–1)Modèle:Exp, où la fonction additive ω associe à tout n le nombre de ses diviseurs premiers distincts ;
• la fonction a qui à tout n associe le nombre de groupes abéliens d'ordre n (à isomorphisme près) ;
• la fonction r₂/4, où r₂(n) est le nombre de décompositions de n en somme de deux carrés d'entiers relatifs, en tenant compte de l'ordre dans les écritures (ce nombre est toujours un multiple de 4 ; par exemple Modèle:Nobr et donc r₂(1) = 4) et sa généralisation pour les sommes de k carrés, la fonction rModèle:Ind/(2k), si (et seulement si) k = 1, 2, 4 ou 8,
• les fonctions indicatrices de certains ensembles, comme celui des puissances k-ièmes d'entiers (pour k > 1 fixé) ou celui des nombres non divisibles par une puissance k-ième autre que 1.

Propriétés élémentaires

La multiplicativité et la complète multiplicativité sont préservées par produit, module et conjugaison.

Dans leur définition, la première condition (l'image de 1 est égale à 1) peut être remplacée par : la fonction est non nulle.

Si ƒ est multiplicative alors

$\mathrm{\forall }a,b\in {\mathbb{N}}^{*},f(a)f(b)=f(\mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b))f(\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}(a,b))$

où Modèle:Math est le plus grand commun diviseur et Modèle:Math est le plus petit commun multiple des entiers.

Convolution de Dirichlet

Modèle:Voir La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction Modèle:Nobr définie par :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$

où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n.

On démontre alors que si ƒ et g sont multiplicatives, Modèle:Nobr l'est aussi, et que l'ensemble des fonctions multiplicatives, muni de cette loi interne, est un groupe abélien, d'élément neutre δModèle:Ind.

Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :

• μ ✻ Modèle:Math = δModèle:Ind,
• Modèle:Math ✻ Modèle:Math = Modèle:MathModèle:Ind et (par inversion de Möbius) Modèle:Math = μ ✻ Modèle:MathModèle:Ind, en particulier
  • φ ✻ Modèle:Math = Modèle:Math et φ = μ ✻ Modèle:Math,
• σModèle:Ind = Modèle:MathModèle:Ind ✻ Modèle:Math et (par inversion de Möbius) Modèle:MathModèle:Ind = σModèle:Ind ✻ μ, en particulier
  • d = Modèle:Math ✻ Modèle:Math et Modèle:Math = d ✻ μ,
  • σ = Modèle:Math ✻ Modèle:Math et Modèle:Math = σ ✻ μ,
• σModèle:Ind = Modèle:Math ✻ d (via Modèle:MathModèle:Ind ✻ Modèle:Math = Modèle:Math ✻ Modèle:Math ✻ Modèle:Math), en particulier
  • σ = φ ✻ d.

Produit eulérien

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série de Dirichlet :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$.

Le produit formel des séries associées à f et g est, par définition, la série associée à f ✻ g. On définit de façon analogue le produit formel d'une suite infinie de fonctions arithmétiques fModèle:Ind, sous réserve que fModèle:Ind(1) = 1 et que la série qui définit chaque coefficient du produit soit absolument convergente :

$\prod _i\sum _{n_i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f_i(n_i)}{n_i^s}:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{\prod n_i=n}\prod _i{f}_i(n_i)}{n^s}$.

Le cas le plus important est celui d'un produit eulérien — c'est-à-dire où les indices i sont les nombres premiers, notés alors plutôt p — dans lequel les fonctions arithmétiques fModèle:Ind sont définies à partir d'une fonction multiplicative f par : fModèle:Ind coïncide avec f sur les puissances de p et est nulle ailleurs. Ce produit (des séries associées aux fModèle:Ind) est alors égal à la série associée à f. Si cette dernière est absolument convergente, cette égalité formelle est vraie aussi au sens de l'analyse. Voir la section d'exemples de l'article sur les séries de Dirichlet.

Articles connexes

• Fonction additive
• Série de Bell