Symbole de Legendre

En théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie Legendre, au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Définition

Modèle:Énoncé Il ne dépend donc que de la classe de Modèle:Math modulo Modèle:Mvar.

Le cas particulier Modèle:Math est inclus dans cette définition mais sans intérêt : $\left(\frac{a}{2}\right)$ vaut 0 si Modèle:Mvar est pair et 1 sinon.

Propriétés du symbole de Legendre

Critère d'Euler

Modèle:Article détaillé Si Modèle:Mvar est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier Modèle:Mvar :

$a^{(p-1)/2}\equiv \left(\frac{a}{p}\right)(\mathrm{mod}p)$.

Multiplicativité

L'application $a\mapsto \left(\frac{a}{p}\right)$ est complètement multiplicative (c'est une conséquence immédiate du critère d'Euler).

Lemme de Gauss

Modèle:Article détaillé Soient Modèle:Mvar un nombre premier impair et Modèle:Mvar un entier non divisible par Modèle:Mvar. Alors

$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1{)}^n$,

où Modèle:Mvar est défini de la façon suivante :

Loi de réciprocité quadratique

• Si Modèle:Mvar est un autre nombre premier impair alors $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.$
• $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv pmod4.$
• $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=\{\begin{array}{c}1\text{ si }p\equiv \pm 1mod8\\ -1\text{ si }p\equiv \pm 3mod8.\end{array}$

Généralisation du symbole de Legendre

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre $\left(\frac{a}{b}\right)$, l'entier $b$ est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où $b$ est un nombre composé.

Analyse harmonique sur (ℤ/pℤ)*

Modèle:Article détaillé La multiplicativité complète du symbole de Legendre Modèle:Supra montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme de (ℤ/pℤ)* dans {–1, 1} ; c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss, utilisées dans l'une des démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.