Loi de réciprocité quadratique

En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique établit des liens entre les nombres premiers. Plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801.

Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques :

• étant donné un nombre premier Modèle:Mvar, déterminer, parmi les entiers, lesquels sont des carrés modulo Modèle:Mvar et lesquels n'en sont pas ;
• étant donné un entier Modèle:Mvar, déterminer, parmi les nombres premiers, modulo lesquels Modèle:Mvar est un carré et modulo lesquels il n'en est pas un.

Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres et a de nombreuses généralisations.

Énoncés

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Il faut toutefois observer que si la première loi complémentaire est effectivement une loi de réciprocité, la seconde loi complémentaire ne l'est pas ; en effet, avec la notation de Legendre définie ci-dessous, la première loi complémentaire équivaut bien à

$\left(\frac{p}{-1}\right)\left(\frac{-1}{p}\right)(=\left(\frac{-1}{p}\right))=(-1{)}^{\frac{(p-1)(-1-1)}{4}},$

c'est-à-dire que –1 se comporte effectivement comme un nombre premier vis-à-vis de la loi de réciprocité quadratique. Il n'en est pas de même du nombre 2, dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par la seconde loi complémentaire : la loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général, et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise par le symbole de Jacobi, puis par celui de Kronecker.

Premier énoncé

Théorème fondamental

Étant donnés deux nombres premiers impairs distincts Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :

• si Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar est congru à 1 modulo 4, alors Modèle:Mvar est un carré modulo Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Mvar est un carré modulo Modèle:Mvar.

• si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont congrus à 3 modulo 4, alors Modèle:Mvar est un carré modulo Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Mvar n'est pas un carré modulo Modèle:Mvar.

Première loi complémentaire

–1 est un carré modulo Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Mvar est congru à 1 modulo 4.

Deuxième loi complémentaire

2 est un carré modulo Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Mvar est congru à 1 ou –1 modulo 8.

Symbole de Legendre

En utilisant le symbole de Legendre, ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par :

Théorème fondamental

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$, autrement dit $\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)$ sauf si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont tous deux congrus à Modèle:Math, auquel cas $\left(\frac{p}{q}\right)=-\left(\frac{q}{p}\right)$.

Première loi complémentaire

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$.

Deuxième loi complémentaire

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$.

Exemples

• Modulo q = 3, le seul carré non nul est (±1)Modèle:2 = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier Modèle:Mvar différent de 2 et 3, l'équivalence :$p\equiv 1\mathrm{mod}3⟺-3\text{ est un carré modulo }p$.Cette équivalence se démontre plus directementModèle:, : l'entier Modèle:Mvar – 1 est un multiple de 3 si et seulement si [[Anneau ℤ/nℤ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|(ℤ/Modèle:Mvarℤ)Modèle:*]] contient un élément d'ordre 3, c'est-à-dire une racine du [[Polynôme cyclotomique#Définition et exemples|polynôme XModèle:2 + X + 1]]. Cela équivaut à l'existence dans ℤ/Modèle:Mvarℤ d'une racine carrée du discriminant –3 de ce polynôme.
• Modulo q = 5, les carrés non nuls sont (±1)Modèle:2 = 1 et (±2)Modèle:2 ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier Modèle:Mvar différent de 2 et 5, l'équivalence :$p\equiv \pm 1\mathrm{mod}5⟺5\text{ est un carré modulo }p.$Mais dès 1775, Lagrange, parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des formes quadratiques binaires — démontra le sens direct (⇒) et étendit la réciproque (⇐) au cas où Modèle:Mvar n'est pas premier. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même.
• Déterminons si 219 est un carré modulo 383. La multiplicativité du symbole de Legendre montre que :Modèle:Retrait

Le théorème fondamental permet de simplifier les deux facteurs :Modèle:Retrait À nouveau par multiplicativité du symbole de Legendre, on simplifie encore le second facteur : Modèle:RetraitOn conclut à l'aide des deux lois complémentaires : comme $3\equiv ̸1\mathrm{mod}4$ et $73\equiv 1\mathrm{mod}8$, Modèle:Retrait Par conséquent, 219 est un carré modulo 383.

• Déterminons modulo quels nombres premiers Modèle:Math l'entier 3 est un carré. D'après le théorème fondamental,

or

$\left(\frac{p}{3}\right)$

dépend de Modèle:Math et

$(-1{)}^{(p-1)/2}$

dépend de Modèle:Math. On trouve ainsi que

$3\text{ est un carré modulo }p⟺p\equiv \pm 1\mathrm{mod}12.$

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique

Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 344 différentes démonstrations du théorème fondamental.

Les premières démonstrations de ce dernier aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait de preuves dès 1796 (à l'âge de dix-neuf ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion.

La démonstration originale de Gauss utilise les mêmes techniques que celles exposées dans la première preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous, et quoique considérée comme un peu laborieuse par beaucoup, elle est en fait très naturelle et peut être largement simplifiée (Dirichlet). Gauss suppose par induction la loi vraie pour les nombres premiers p, q inférieurs à N. Il utilise constamment des équations de base telles que p = cModèle:2 – kq (si par exemple p est supposé résidu modulo q), pour démontrer que les facteurs premiers r divisant k sont résidus ou non résidus modulo p, ce qui permet d'en déduire la résiduité de q modulo p (voir la preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous pour mieux saisir l'idée). Évidemment, il faut constamment utiliser les symétries logiques pour faire jouer l'induction, et examiner cas par cas.

Mais lorsque toutes les symétries ont été mises à profit, il reste encore un cas qui échappe à l'induction: c'est celui où p > q et p est congru à 1 modulo 4. C'est là que Gauss a l'idée digne de son génie d'utiliser comme levier un autre nombre premier qModèle:' < p tel que p est non résidu modulo qModèle:'. En supposant alors par l'absurde que p est résidu modulo q mais q non résidu modulo p, on en déduit que qModèle:' est non résidu modulo p et l'on a l'équation de base qqModèle:' = cModèle:2 – kp, ce qui permet de faire jouer l'induction et de terminer la preuve.

Il reste donc à démontrer que pour tout nombre premier p congru à 1 modulo 4, il existe un nombre premier qModèle:' < p tel que p est non résidu modulo qModèle:'. C'est en fait la difficulté essentielle de la démonstration de la loi de réciprocité quadratique, et Gauss avoue que la preuve de ce résultat lui a longtemps résisté. Il s'en tire néanmoins par un mini tour de force (numéros 126, 127, 128, 129 des Disquisitiones), en se servant accessoirement d'un lemme injustement tombé dans l’oubli, qu'il démontre facilement par induction et qui mérite d'être cité : Modèle:Énoncé

Par exemple, si a est un entier relatif et n un entier positif, en observant que le nombre des termes divisible par un entier positif quelconque k dans la suite a, a + 1, a + 2, … , a + n – 1 est au moins aussi grand que celui des termes divisibles par k dans la suite des nombres 1, 2, 3, … , n, on en conclut que Modèle:Sfrac est un entier, chose déjà connue par la combinatoire, mais qui reçoit par là une démonstration numérique pure (due à Gauss). C'est d'ailleurs peut être cet exemple qui a donné à Gauss l'idée de faire jouer la factorielle dans sa preuve du résultat ci-dessus.

Comme indiqué précédemment, les démonstrations de la loi de réciprocité quadratique sont légion. En particulier, citons-en deux.

• Une démonstration du théorème fondamental, qui est fondée sur les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini et utilise les caractères des groupes abéliens additif et multiplicatif du corps fini Modèle:Math à Modèle:Mvar éléments, est donnée dans l'article « Somme de Gauss ». Une version plus simple est la sixième démonstration par Gauss de ce théorèmeModèle:,Modèle:,Modèle:,. Une autre preuve figure dans les liens externes de l'article « Lemme de Zolotarev ». On doit à Frobenius une preuve géométrique très simple s'appuyant sur le lemme de Gauss.
• Une démonstration des deux lois complémentaires est proposée ici. La première est conséquence immédiate du simple critère d'Euler. Les trois démonstrations choisies pour la deuxième sont (parmi bien d'autres) celle de Gauss (Disquisitiones), Thomas Joannes Stieltjes (par dénombrement) et celle d'Euler (1772).

Modèle:Démonstration/début Soit Modèle:Mvar un nombre premier différent de 2. L'objectif est de déterminer le statut quadratique de –1 et 2 dans le [[Anneau ℤ/nℤ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|corps FModèle:Ind = ℤ/pℤ]]. L'ordre de son groupe multiplicatif FModèle:Ind* est p – 1 (qui est pair).

• Conséquences du critère d'Euler :

• le produit ab de deux éléments de FModèle:Ind* est quadratique si a et b sont simultanément quadratiques ou si aucun des deux ne l'est ;
• un élément de FModèle:Ind* est non quadratique si et seulement s'il est racine du polynôme P(X) de FModèle:Ind[X] défini par :

$P(X)=X^{\frac{p-1}{2}}+1$ ;

• il y a exactement (p – 1)/2 résidus quadratiques.

• Première loi complémentaire :

Elle résulte de l'imparité de Modèle:Mvar (qui ne peut donc être congru modulo 4 qu'à ±1) et de la deuxième conséquence ci-dessus : –1 est non quadratique si et seulement si $(-1{)}^{(p-1)/2}=-1$, c'est-à-dire si Modèle:Mvar est congru à –1 modulo 4.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Gauss)

Premier cas: si Modèle:Mvar est congru à ±3 modulo 8 :

Si 2 était résidu modulo Modèle:Mvar, on pourrait supposer Modèle:Mvar minimal jouissant de cette propriété, parmi tous les nombres premiers p congru à ±3 modulo 8. On aurait donc l'équation de base

$2=c^2-kp,$

avec k > 0 et 0 < c < p, et en échangeant éventuellement c avec p-c, on pourrait supposer c impair, d'où k impair d'une part, et $c^2\equiv 1mod8$ d'autre part. L'équation de base donnerait alors

$-kp\equiv 1mod8,$

et il s'ensuivrait que k serait divisible par un nombre premier q congru a ±3 modulo 8 (sans quoi k, produit de nombres premiers congrus à ±1 modulo 8, serait de la forme ±1 modulo 8, et kp de la forme ±3 modulo 8).

Puisque d'autre part $k=\frac{c^2-2}{p}<p,$ on a q < p. Mais alors, l'équation de base impliquerait que 2 est résidu modulo q, en contradiction avec la minimalité de p.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 8 :

On veut prouver que 2 est résidu modulo p. Puisque dans ce cas, -1 n'est pas résidu modulo p (première loi complémentaire), il suffit de prouver que -2 est non résidu modulo p.

Comme dans pour le premier cas, en supposant cela possible, on choisit p minimal jouissant de cette propriété. On a, comme précédemment, l'équation de base

$-2=c^2-kp,$

avec k > 0, 0 < c < p, c impair, k impair, et k < p. Ainsi

$kp\equiv 3mod8.$

Mais alors k est divisible par un facteur premier q congru à -3 ou à -1 modulo 8 (sans quoi k, produit de facteurs congrus à 1 ou à 3 modulo 8, le serait aussi, et kp serait congru à -1 ou à -3 modulo 8). L'équation de base implique que -2 est résidu modulo q, ce qui est impossible si q est congru à -1 modulo 8 en vertu de la minimalité de p. Si au contraire q est congru à -3 modulo 8, alors, q étant congru à 1 modulo 4, -1 est résidu modulo q et 2 est residu modulo q par l'équation de base (en la divisant par -1 modulo p). Mais cela est interdit par le premier cas déjà démontré. D'où la conclusion.

Troisième cas: si p est congru à 1 modulo 8 :

Ce cas échappe à l'induction, mais ne pose heureusement pas de problème: Si r est une racine primitive modulo p, soit $a=r^{\frac{p-1}{8}}$. Alors

$a^4=-1modp,\text{ou bien}{a}^4+1\equiv (a^2+1{)}^2-2a^2\equiv 0modp.$

Donc, par division de cette dernière congruence par $a^2$ modulo p, on voit que 2 est résidu modulo p, ce qu'il fallait démontrer.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Stieltjes)

Considérons l'ensemble B des résidus non quadratiques différents de –1. On remarque que si b est un élément de B, alors bModèle:-1 aussi, et il est différent de b. En effet, les seuls éléments égaux à leurs inverses sont 1 et –1 et aucun élément de B n'est égal à l'un de ceux-là.

On distingue deux cas suivant le résultat fourni par la première loi.

Premier cas: si Modèle:Mvar est congru à 1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 est un résidu quadratique et B est l'ensemble des (p – 1)/2 résidus non quadratiques. Soit C l'ensemble égal à B – 1, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de B auxquels on retranche 1. L'égalité suivante montre que la moitié des éléments de C sont des résidus quadratiques et l'autre non :

$\mathrm{\forall }b\in Bb(b^{-1}-1)=b{b}^{-1}-b=-1(b-1).$

En effet, si b – 1 est un résidu quadratique, comme b ne l'est pas et que –1 l'est, bModèle:-1 – 1 ne l'est pas non plus. Ce qui montre que l'on peut partitionner C en un ensemble de paires dont un élément est un résidu quadratique et l'autre non. Comme (p – 1)/2 est pair, le calcul de P(1) montre que :

$2=1^{\frac{p-1}{2}}+1=P(1)=\prod _{b\in B}(1-b)=\prod _{b\in B}(b-1)=\prod _{c\in C}c.$

Par conséquent, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C, qui vaut (p – 1)/4, est pair, c'est-à-dire si p est congru à 1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 n'est pas un résidu quadratique et B ne contient que (p – 3)/2 éléments. Considérons alors l'ensemble C' égal à B + 1. L'égalité suivante et le raisonnement précédent montrent que la moitié des (p – 3)/2 éléments de C' sont des résidus quadratiques et l'autre non :

$\mathrm{\forall }b\in Bb(b^{-1}+1)=b{b}^{-1}+b=b+1.$

Notons Q(X) le polynôme défini par :

$Q(X)=\prod _{b\in B}(X-b)=\frac{P(X)}{X+1}=\sum _{i=0}^{\frac{p-3}{2}}(-1{)}^i{X}^i.$

En calculant Q(–1) de deux façons et en réutilisant que (p – 3)/2 est pair, on obtient :

$\prod _{c\in C^{\prime }}c=(p-1)/2.$

L'élément p – 1 n'est pas un résidu quadratique dans ce cas, et l'inverse de 2 est un résidu quadratique si et seulement si 2 l'est. En conséquence, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C', qui vaut (p – 3)/4, est impair, c'est-à-dire si p est congru à –1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

• Deuxième loi complémentaire (Euler).
  • Si p = 8n + 1 alors 2 est un carré mod p car xModèle:Exp – 1 = (xModèle:Exp – 1)((xModèle:Exp + 1)Modèle:2 – 2(xModèle:Exp)Modèle:2).
  • Si p ≡ –1 mod 8 alors –2 n'est pas un carré mod p ([[Théorème des deux carrés de Fermat#Euler et la descente infinie|sinon, p serait de la forme aModèle:2 + 2bModèle:2]], ce qui est trivialement impossible) donc (d'après la première loi complémentaire) 2 en est un.
  • Si p ≡ ±3 mod 8 alors 2 n'est pas un carré mod p ([[Théorème des deux carrés de Fermat#Euler et la descente infinie|sinon, p serait de la forme ±(aModèle:2 – 2bModèle:2)]], ce qui est trivialement impossible).

Généralisations

Il existe des lois de réciprocité cubique, Modèle:Lien (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois Modèle:Incise est la théorie des corps de classes. Voir « Neuvième problème de Hilbert ».

Voir aussi

Modèle:Autres projets Symbole de Jacobi