Réciprocité cubique

En mathématiques, la loi de réciprocité cubique fait référence à divers résultats reliant la résolubilité de deux équations cubiques reliées en arithmétique modulaire.

Notations

La loi de réciprocité cubique est plus naturellement exprimée en termes d'entiers d'Eisenstein, c’est-à-dire, l'anneau E des nombres complexes de la forme

$z=a+b\omega$

où Modèle:Math et Modèle:Math sont des entiers relatifs et

$\omega =\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/3}$

est une racine cubique de l'unité complexe.

Si Modèle:Math est un élément premier de E de norme P ≡ 1 (mod 3) et Modèle:Math un élément premier avec Modèle:Math, on définit le symbole résidu cubique ${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3$ comme étant la racine cubique de l'unité (puissance de Modèle:Math) satisfaisant

${\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}_3\equiv {\alpha }^{(P-1)/3}(\mathrm{mod}\pi ).$

De plus, on dit qu'un entier d'Eisenstein est primaire s'il est congru à ±1 modulo 3.

Énoncé

Pour des nombres premiers primaires non associés Modèle:Math et Modèle:Math, la loi de réciprocité cubique est :

${\left(\frac{\pi }{\theta }\right)}_3={\left(\frac{\theta }{\pi }\right)}_3$

avec des lois supplémentaires pour les unités et pour l'élément premier Modèle:Math de norme 3 qui, pour Modèle:Math, sont :

${\left(\frac{\omega }{\pi }\right)}_3={\omega }^{-m-n},{\left(\frac{1-\omega }{\pi }\right)}_3={\omega }^m\mathrm{e}\mathrm{t}{\left(\frac{3}{\pi }\right)}_3={\omega }^n.$

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Loi de réciprocité quadratique
• Symbole de Legendre