Fonction caractéristique (théorie des ensembles)

Le graphe de la fonction indicatrice d'un sous-ensemble à deux dimensions d'un carré.

En mathématiques, une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de E de tout élément de E.

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

$\begin{array}{ccc}{\chi }_F:E& ⟶& \{0,1\}\\ x& ⟼& \{\begin{array}{c}1\text{si}x\in F\\ 0\text{si}x\notin F\end{array}\end{array}$

D'autres notations souvent employées pour la fonction caractéristique de Modèle:Mvar sont Modèle:Math et Modèle:Math, voire Modèle:Math (i majuscule).

Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe.

(Attention : la fonction Modèle:Math peut désigner aussi la fonction identité).

Propriétés

Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions.

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux sous-ensembles de Modèle:Mvar alors

$(A\subseteq B)\iff ({\chi }_A\le {\chi }_B)$

et

$\begin{array}{cc}{\chi }_{\bar{A}}& =1-{\chi }_A,\\ {\chi }_{A\cap B}& =\min \{{\chi }_A,{\chi }_B\}={\chi }_A\times {\chi }_B,\\ {\chi }_{A\cup B}& =\max \{{\chi }_A,{\chi }_B\}={\chi }_A+{\chi }_B-{\chi }_A\times {\chi }_B,\\ {\chi }_{A\mathrm{△}B}& ={\chi }_A+{\chi }_B-2{\chi }_A\times {\chi }_B.\end{array}$

L'application

$\chi :𝒫(E)\to \{0,1{\}}^E,A\mapsto {\chi }_A$

est une bijection, de l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble $𝒫(E)$ des parties de Modèle:Mvar]] dans l'[[Exponentiation ensembliste|ensemble Modèle:Math des applications de Modèle:Mvar dans Modèle:Math]].

Sa bijection réciproque est l'application

$\{0,1{\}}^E\to 𝒫(E),f\mapsto f^{-1}(\{1\})$,

où Modèle:Math désigne l'image réciproque par Modèle:Mvar du singleton Modèle:Math, c'est-à-dire la partie de Modèle:Mvar constituée des éléments Modèle:Mvar tels que Modèle:Math.

Continuité

Si F est une partie d'un espace topologique Modèle:Mvar et si la paire Modèle:Math est munie de la topologie discrète (qui est la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), l'ensemble des points de Modèle:Mvar en lesquels la fonction Modèle:Math est discontinue est la frontière de Modèle:Mvar.

Exemple

E = ℝ et F = ℚ

Modèle:Math est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout irrationnel.

La fonction de Dirichlet : ℝ → ℝ est définie de la même manière (autrement dit : sa corestriction à Modèle:Math est Modèle:Math).

Dans ℝ, la frontière de ℚ est ℝ (puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ) donc Modèle:Math est discontinue partout.

La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

Mesurabilité

Si Modèle:Math est un espace mesurable (c'est-à-dire si Modèle:Math est une tribu sur Modèle:Mvar), une partie de Modèle:Mvar est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction simple (combinaison linéaire de fonctions indicatrices)
• Fonction étagée (fonction simple mesurable)
• Fonction porte

Bibliographie

• Modèle:En Modèle:Lien, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Modèle:2e éd., John Wiley & Sons, 1999
• Modèle:Cormen2en, § 5.2 : Indicator random variables, Modèle:P.
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• Modèle:En Stephen Cole Kleene (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff et North Holland, Netherlands, Modèle:6e éd. corrigée, 1971
• Modèle:En George Boolos, John P. Burgess et Modèle:Lien, Computability and Logic, Cambridge University Press, 2002 Modèle:ISBN
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• Modèle:En Modèle:Lien, « L-fuzzy sets », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 18, 1967, Modèle:P.