Singleton (mathématiques)

Modèle:Homonyme En mathématiques, un singleton est un ensemble qui comprend exactement un élément. Le singleton dont l'élément est Modèle:Mvar se note $\left\{a\right\}$.

Définitions formelles

Par une fonction indicatrice

Soit Modèle:Mvar une classe définie par une fonction indicatrice

$b:X\to \{0,1\}.$

alors Modèle:Mvar est un singleton si et seulement s’il existe $y\in X$ tel que pour tout $x\in X$,

$b(x)=(x=y).$

Dans Principia Mathematica

La définition suivante vient de Alfred North Whitehead et Russell

${\iota }^{\prime }x=\hat{y}(y=x)𝐃𝐟.$

Le symbole Modèle:Mvar désigne le singleton Modèle:Math et $\hat{y}(y=x)$ désigne la classe des objets identiques à Modèle:Mvar, soit l'ensemble Modèle:Math.

Elle apparait comme une définition dans l'introduction, qui par la suite simplifie l'argument dans le texte principal, quand elle revient dans la proposition 51.01 (p.357 ibid.). Cette proposition est réutilisée pour définir le cardinal 1 comme

$1=\hat{\alpha }((\mathrm{\exists }x)\alpha ={\iota }^{\prime }x)𝐃𝐟.$

Ainsi, 1 est la classe des singletons. C'est la définition 52.01 (p.363 ibid.)

Exemples

• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est le [[Pi|nombre Modèle:Math]].
• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est le nombre décimal 2,87 (il se distingue de la paire d'entiers Modèle:Math, qui comprend une espace après la virgule, on pourra utiliser un point-virgule pour éviter la confusion).
• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est la [[Cosinus|fonction Modèle:Math]].
• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est le couple Modèle:Math.
• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est le singleton Modèle:Math.
• Modèle:Math est le singleton dont l'élément est l'ensemble vide Modèle:Math.
• L'ensemble Modèle:Math est le singleton Modèle:Math (voir « Ensemble défini en extension »).

Propriétés

• Un élément Modèle:Mvar appartient à un singleton si et seulement s’il est égal à l'élément de ce singleton :

$x\in \{a\}\iff x=a$.

• En théorie des ensembles, l'existence d'un singleton Modèle:Math pour tout Modèle:Mvar est justifiée par l'axiome de la paire.
• Deux singletons sont égaux si et seulement si leurs éléments respectifs sont égaux :

$\{a\}=\{b\}\iff a=b$.

• Deux singletons Modèle:Math et Modèle:Math sont disjoints si et seulement si leurs éléments respectifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont différents, ce qui revient à dire que les singletons disjoints sont les singletons différents :

$\{a\}\cap \{b\}=\mathrm{\varnothing }\iff a\ne b\iff \{a\}\ne \{b\}.$

• Le cardinal d'un singleton est Modèle:Math :

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\{a\})=1.$

• Le produit cartésien d'une famille quelconque de singletons est un singleton. Par exemple : $\{a\}\times \{b\}=\{(a,b)\}$.
• Pour tout ensemble Modèle:Mvar :
  • pour tout singleton Modèle:Math, il n'y a qu'une application de Modèle:Mvar dans Modèle:Math, ou encore : l'[[Exponentiation ensembliste|ensemble Modèle:Math des applications]] de Modèle:Mvar dans Modèle:Math est un singleton ;
  • l'ensemble Modèle:Math des applications de l'ensemble vide dans Modèle:Mvar est un singleton.

Confusions possibles

• Si Modèle:Mvar est un nombre réel, Modèle:Math peut aussi désigner sa partie fractionnaire.
• En mécanique des solides, les torseurs sont notés entre accolades. Ainsi, $\{𝒯\}$ désigne un torseur statique, et non pas le singleton contenant l'élément $𝒯$. De même, dans ce contexte, Modèle:Math désigne le torseur nul et non pas le singleton zéro.

Lien externe

• Modèle:Mathworld