Espace mesurable

Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisableModèle:Référence nécessaire (en théorie des probabilités), est un couple $(X,𝒜)$ où $X$ est un ensemble et $𝒜$ une tribu sur $X$. Les éléments de $𝒜$ sont alors appelés des ensembles mesurables de $X$.

Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure $\mu$ en vue de construire un espace mesuré $(X,𝒜,\mu )$.

Cas des probabilités

En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ est appelé un espace probabilisable, l'ensemble $\mathrm{\Omega }$ est appelé l'univers et les éléments de la tribu $𝒜$ sont appelés événements.

L'espace probabilisable $(\mathrm{\Omega },𝒜)$, une fois complété d'une mesure de probabilité $P$ (c'est-à-dire une mesure telle que $P(\mathrm{\Omega })=1$) forme un espace probabilisé $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$.

Exemples

Si $X$ un ensemble quelconque :

• $(X,𝒫(X))$, où $𝒫(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ est un espace mesurable.
• $(X,\{\varnothing ,X\})$ est un espace mesurable, où $\{\varnothing ,X\}$ est la tribu grossière.

Si $X$ est un espace topologique, $(X,ℬ(X))$, où $ℬ(X)$ est la tribu de Borel de $X$, est un espace mesurable.

Définitions alternatives

Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Modèle:Ouvrage, p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Modèle:Ouvrage, p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.