Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

Fonction nombre de diviseurs, σ₀(n), jusqu'à n = 250

Fonction somme des diviseurs, σ₁(n), jusqu'à n = 250.

Fonction somme des carrés des diviseurs, σ₂(n), jusqu'à n = 250.

Fonction somme des cubes des diviseurs, σ₃(n), jusqu'à n = 250.

En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée

${\sigma }_k$

, est la fonction multiplicative qui à tout [[Entier naturel|entier Modèle:Math]] associe la somme des puissances

$k$

-ièmes des diviseurs positifs de Modèle:Math, où

$k$

est un nombre complexe quelconque :

${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k.$

Propriétés

• La fonction ${\sigma }_k$ est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers Modèle:Math et Modèle:Math premiers entre eux, ${\sigma }_k(mn)={\sigma }_k(m){\sigma }_k(n)$. En effet, ${\sigma }_k$ est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance $k$-ième et la fonction constante 1.
• Si Modèle:Math est un nombre premier alors ${\sigma }_k(p^q)$est une somme partielle de série géométrique :$\mathrm{\forall }q\in \mathbb{N},{\sigma }_k(p^q)=1+p^k+p^{2k}+\dots +p^{qk}=\{\begin{array}{cc}\frac{p^{(q+1)k}-1}{p^k-1}& \text{si }{p}^k\ne 1,\\ q+1& \text{si }{p}^k=1.\end{array}$(La condition Modèle:Math équivaut à Modèle:Math, ce qui est vrai pour tous les Modèle:Math si Modèle:Math est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, ${\sigma }_k$ n'est pas complètement multiplicative.
• L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer Modèle:Math connaissant la décomposition en facteurs premiers de Modèle:Math :$\mathrm{s}\mathrm{i}n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{q_i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}{\sigma }_k(n)=\prod _{i=1}^r\sum _{j=0}^{q_i}{p}_i^{jk}.$
• On peut aussi calculer Modèle:Math(pModèle:Exp) par les polynômes de Tchebychev : soient Modèle:Math le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré Modèle:Math, et Modèle:Math sa renormalisation, définie par Modèle:Math. Alors :$\frac{{\sigma }_k(p^q)}{p^{kq/2}}=X_q\left(\frac{{\sigma }_k(p)}{p^{k/2}}\right).$

Modèle:Démonstration/début Notons Modèle:Math. Il s'agit de prouver que

ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :

Modèle:Retrait Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel Modèle:Math non multiple de Modèle:Math, en posant Modèle:Math, on a

donc

ce qui conclut. Modèle:Démonstration/fin

• Par multiplicativité, on déduit du point précédentModèle:,:${\sigma }_k(m){\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid (m,n)}{d}^k{\sigma }_k\left(\frac{mn}{d^2}\right)$(où Modèle:Math désigne le pgcd de Modèle:Math et Modèle:Math) puis, par inversion de Möbius :${\sigma }_k(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\mu (d)d^k{\sigma }_k\left(\frac{m}{d}\right){\sigma }_k\left(\frac{n}{d}\right)$.
• On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de ${\sigma }_k$ : $\sum _{i=1}^n{\sigma }_k(i)=\sum _{d=1}^n\sum _{m=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{m}^k\stackrel{\text{aussi}}{=}\sum _{m=1}^n\lfloor \frac{n}{m}\rfloor m^k$

Modèle:Démonstration/début $\sum _{i=1}^n{\sigma }_k(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{m|i}{m}^k=\sum _{\begin{array}{c}m,d\\ 1⩽md⩽n\end{array}}{m}^k=\sum _{d=1}^n\sum _{m=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{m}^k\stackrel{\text{aussi}}{=}\sum _{m=1}^n\lfloor \frac{n}{m}\rfloor m^k$ Modèle:Démonstration/fin

• La série de Dirichlet associée à ${\sigma }_k$ s'exprime à l'aide de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math de Riemann]] :$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_k(n)}{n^s}=\zeta (s)\zeta (s-k)$et l'on a la relation :$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_k(n){\sigma }_l(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-k)\zeta (s-l)\zeta (s-k-l)}{\zeta (2s-k-l)}.$

Cas où k est un entier naturel

Fonction nombre de diviseurs

La fonction

${\sigma }_0$

(Modèle:Citation), également notée Modèle:Mvar, est aussi appelée fonction tauModèle:, (de l'allemand Modèle:Lang : diviseur) et notée Modèle:Math. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de Modèle:Math :

$d(n)=\tau (n)=\sum _{d|n}1=\mathrm{Card}\{1⩽d⩽n:d|n\}=\prod _{i=1}^r(k_i+1).$

La suite

$({\sigma }_0(n))$

est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Fonction somme des diviseurs

La fonction sigma

${\sigma }_1$

est parfois notée Modèle:Math. On a

$\sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{i=1}^r\sum _{j=0}^{q_i}{p}_i^j=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}.$

Par exemple, si Modèle:Math pour deux nombres premiers distincts Modèle:Math et Modèle:Math, alors

Modèle:Retrait où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de Modèle:Math est Modèle:Retrait L'entier Modèle:Math est dit parfait si Modèle:Math, déficient si Modèle:Math et abondant si Modèle:Math.

La suite $({\sigma }_1(n))$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Autres valeurs de Modèle:Mvar

La suite $({\sigma }_2(n))$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

La suite $({\sigma }_3(n))$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante d'Erdős-Borwein
• Constante d'Euler-Mascheroni
• Ordre moyen d'une fonction arithmétique
• Série de Lambert