Fonction nombre de diviseurs

En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul $n$, en incluant parmi les diviseurs de $n$ les nombres 1 et $n$. Elle est généralement notée $\text{d}$ ou $\tau$ (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore ${\sigma }_0$, comme cas particulier de fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs.

Définition

Pour tout nombre naturel $n$ on définit :

$\text{d}(n)=\mathrm{card}(\{d\in \mathbb{N}\text{ ; }1⩽d⩽n\text{et}d|n\})=\sum _{d|n}1$ où $d|n$ indique la divisibilité de $n$ par $d$.

Les premières valeurs sont les suivantes :

Modèle:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Diviseurs de Modèle:Mvar	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
Modèle:Math	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

Propriétés

• On a l'identité suivante : $\sum _{k=1}^n\text{d}(k)=\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$ où $\lfloor .\rfloor$ désigne la fonction partie entièreModèle:,Modèle:, :

$\sum _{k=1}^n\text{d}(k)=\sum _{k=1}^n\sum _{d|k}1=\sum _{d=1}^n\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ d|k\end{array}}1=\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{n}{d}\rfloor .$

• Si la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ est

  $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_r^{{\alpha }_r}$,

  alors :

  $\text{d}(n)=({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\dots ({\alpha }_r+1)$.

• La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, Modèle:C.-à-d. que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors :

  $\text{d}(mn)=\text{d}(m)\text{d}(n)$.

• Un nombre Modèle:Mvar est premier si et seulement si Modèle:Math.
• Un nombre Modèle:Mvar est un carré parfait si et seulement si Modèle:Math est impair.
• $\text{d}(n)$ est le double du nombre de diviseurs de Modèle:Mvar entre 1 et Modèle:Math, auquel il faut retrancher 1 si $n$ est un carré parfait, donc un majorant de Modèle:Math est Modèle:Math.
• La fonction génératrice de Modèle:Math s'exprime comme série de Lambert :

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\text{d}(n)s^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{s^n}{1-s^n}$ (pour $\mathrm{Re}(s)>1$)

• La série de Dirichlet de Modèle:Math est le carré de la fonction zêta de Riemann :

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{d}(n)}{n^s}={\zeta }^2(s)$ (pour $\mathrm{Re}(s)>1$)

Comportement asymptotique

Formule de Dirichlet

Représentation en bâtons de Modèle:Math ; en rouge, de $\frac{\sum _{k=1}^{n}d(k)}{n}$ ; en bleu, de Modèle:Math et Modèle:Mvar ; et en vert, de Modèle:Math.

La fonction d est très irrégulière : elle prend la valeur 2 pour $n$ premier, et prend aussi des valeurs arbitrairement grandes (par exemple Modèle:Math pour Modèle:Math) . Mais en moyenne de Cesàro : $\frac{\sum _{k=1}^n\text{d}(k)}{n}\sim \ln n$.

Ceci vient de la formule $\sum _{k=1}^n\text{d}(k)=\sum _{k=1}^n\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ , dont on déduit : $H_n-1⩽\frac{\sum _{k=1}^n\text{d}(k)}{n}⩽H_n$ où Modèle:Math est la série harmonique, puis l'encadrement :

$\ln n-1⩽\frac{\sum _{k=1}^n\text{d}(k)}{n}⩽\ln n+1$.

Représentation en rouge de Modèle:Math ; en bleu, de l'ordre moyen Modèle:Math ; et en vert, de 2, correspondant aux nombres premiers.

Un développement plus précis est donné parModèle:,Modèle:,Modèle:,

$\frac{\sum _{k=1}^n\text{d}(k)}{n}=\ln n+2\gamma -1+O(1/\sqrt{n})$

(où Modèle:Mvar est un symbole de Landau et Modèle:Mvar la constante d'Euler-Mascheroni.)

Il a été démontré par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1849.

On en déduit qu'un ordre moyen pour Modèle:Math est Modèle:Math.

Problème des diviseurs de Dirichlet

La recherche des valeurs de $\beta ⩽\frac{1}{2}$ telles que

$\sum _{1⩽n⩽x}d(n)=x\ln x+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta })$

constitue le « Modèle:Lien ».

Des avancées ont été effectuées par Gueorgui Voronoï (1903, Modèle:Math remplacé par Modèle:Math), Johannes van der Corput (1922, Modèle:Math), ainsi que Modèle:Lien (2003, Modèle:Math). À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré que Modèle:Mvar est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour Modèle:Mvar font toujours l'objet de recherches.

Application à la différence du nombre de diviseurs pairs et du nombre de diviseurs impairs

Posons $\text{u}(n)=\sum _{d|n}(-1{)}^d=\text{dp}(n)-\text{di}(n)$ où $\text{dp}(n)$ est le nombre de diviseurs pairs de $n$ et $\text{di}(n)$ celui des diviseurs impairs ; la suite $(-\text{u}(n))$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

On a alors l'identité : $\sum _{k=1}^n\text{u}(k)=\sum _{d=1}^n(-1{)}^d\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$ qui, combinée avec la valeur de la série harmonique alternée $\sum _{d=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^d}{d}=-\ln 2$,

donne la convergence au sens de Cesàro de $(\text{u}(n))$ vers $-\ln 2$ .

La formule de Dirichlet permet d'obtenir plus précisément : $\frac{\sum _{k=1}^n\text{u}(k)}{n}=-\ln 2+O(1/\sqrt{n})$.

Comme $\text{d}(n)=\text{dp}(n)+\text{di}(n)$, $\text{u}(n)=2\text{dp}(n)-\text{d}(n)$, donc $\sum _{k=1}^n\text{u}(k)=2\sum _{k=1}^n\text{dp}(k)-\sum _{k=1}^n\text{d}(k)$.

Or $\text{dp}(2k)=\text{d}(k)$ et $\text{dp}(2k+1)=0$ , donc $\sum _{k=1}^n\text{dp}(k)=\sum _{1⩽k⩽n/2}\text{d}(k)$.

Par la formule de Dirichlet : $\sum _{1⩽k⩽x}\text{d}(k)=x\ln x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt{x})$, on obtient alors :

$\sum _{k=1}^n\text{u}(k)=2((n/2)\ln (n/2)+(2\gamma -1)n/2)-(n\ln n+(2\gamma -1)n)+O(\sqrt{n})$, qui se simplifie en

$\sum _{k=1}^n\text{u}(k)=-n\ln 2+O(\sqrt{n})$.

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs

Notons $n_{\min }(m)$ le plus petit $n$ tel que $\text{d}(n)=m$ ; la suite $(n_{\min }(m){)}_m$ est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Le tableau suivant en donne les 36 premiers termes.Modèle:Boîte déroulante/début

$n_{\min }(m)$ : plus petit $n$ ayant $m$ diviseurs.

Nombre $m$ de diviseurs	$n_{\min }(m)$	Factorisation de $n_{\min }(m)$
1	1	1
2	2	2
3	4	22
4	6	2·3
5	16	24
6	12	22·3
7	64	26
8	24	23·3
9	36	22·32
10	48	24·3
11	1 024	210
12	60	22·3·5
13	4 096	212
14	192	26·3
15	144	24·32
16	120	23·3·5
17	65 536	216
18	180	22·32·5
19	262 144	218
20	240	24·3·5
21	576	26·32
22	3 072	210·3
23	4 194 304	222
24	360	23·32·5
25	1 296	24·34
26	12 288	212·3
27	900	22·32·52
28	960	26·3·5
29	268 435 456	228
30	720	24·32·5
31	1 073 741 824	230
32	840	23·3·5·7
33	9 216	210·32
34	196 608	216·3
35	5 184	26·34
36	1 260	22·32·5·7

Modèle:Boîte déroulante/finNota 1 : Pour Modèle:Mvar premiers tels que $p⩽q$, $n_{\min }(p)=2^{p-1}$ et $n_{\min }(pq)=2^{q-1}{3}^{p-1}$.

Nota 2 : si $n_{\min }(m)$ n'a pas de successeur plus petit que lui, alors il est hautement composé.

Généralisation

La fonction ${\sigma }_k$ associe à tout naturel non nul la somme des puissances $k$-ièmes de ses diviseurs :

${\sigma }_k(n)=\sum _{d\mid n}{d}^k$

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de cette fonction obtenu pour $k=0$ :

${\sigma }_0(n)=\sum _{d\mid n}{d}^0=\sum _{d\mid n}1=\text{d}(n)$.

Articles connexes

• Nombre parfait
• Nombre hautement composé
• Suite aliquote, suite où chaque nombre est la somme des diviseurs propres de son prédécesseur.
• Constante d'Erdős-Borwein égale à $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{d}(n)}{2^n}$.