Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans un repère complexe avec Re(s) en abscisse et Im(s) en ordonné (avec s nombre complexe).

En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction en analyse complexe, dont l'importance est notable en théorie des nombres. Elle est nommée d'après le mathématicien Bernhard Riemann et on la note souvent Modèle:Math. Pour un Modèle:Mvar réel supérieur à 1, elle est définie par $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$$ Elle peut également servir pour des séries numériques convergentes, comme celle derrière le problème de Bâle $\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+$$\frac{1}{2^2}+$$\frac{1}{3^2}+\dots .$. Plusieurs formules explicites ou numériques efficaces existent pour le calcul de Modèle:Math pour des valeurs entières, qui ont toutes des valeurs réelles, dont l'exemple cité. Cette page liste ces formules avec des tables de valeurs, ainsi que des séries tirées de la dérivée de Modèle:Math ou de compositions avec d'autres séries.

La même équation en Modèle:Mvar reste vraie si Modèle:Mvar est un nombre complexe dont la partie réelle est supérieure à 1, assurant la convergence. Ainsi, elle peut être prolongée au plan complexe par prolongement analytique, sauf au pole simple en Modèle:Math. La dérivée complexe existe dans cette région plus large, faisant de la fonction zêta une fonction méromorphe. Cependant, l'expression de définition n'est plus valable pour toutes ces valeurs de Modèle:Mvar, où la sommation diverge. Par exemple, la fonction zêta existe en Modèle:Math (et y a donc une valeur finie), mais la série correspondante est Modèle:Math, dont les sommes partielles divergent grossièrement.

Les valeurs de la fonction zêta listées ici incluent les valeurs de la fonction aux nombres entiers négatifs pairs (Modèle:Math, Modèle:Nowrap), pour lesquels Modèle:Math qui forment les zéros trivaux de la fonction. L'article consacré à la fonction zêta détaille l'importance des zéros non triviaux pour la théorie des nombres.

La fonction zêta de Riemann entre 0 et 1

En zéro, on a$$\zeta (0)=B_1^{-}=-B_1^{+}=-\frac{1}{2},{\zeta }^{\prime }(0)=-\frac{\ln 2\pi }{2}$$En 1, il y a un pôle, Modèle:Math n'est pas fini ; la limite vaut $-\mathrm{\infty }$ à gauche et $+\mathrm{\infty }$ à droite :$$\underset{\epsilon \to 0^{\pm }}{\lim }\zeta (1+\epsilon )=\pm \mathrm{\infty }$$Comme il y a un pôle du premier ordre, il y a un résidu et$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\epsilon \zeta (1+\epsilon )=1,\text{ soit }\zeta (1+\epsilon )\sim \frac{1}{\epsilon }$$Pour $s\in ]0,1[$, de même que la somme $\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}$ à laquelle on retranche son équivalent $\ln N$ tend vers une limite finie (la constante d'Euler), la somme $\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}$à laquelle on retranche son équivalent $\frac{N^{1-s}}{1-s}$ tend vers une limite finie qui est égale à $\zeta (s)$ :$$\zeta (s)=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}-\frac{N^{1-s}}{1-s})$$Par exemple, $$\zeta \left(\frac{1}{2}\right)=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{n=1}^N\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{N})=-1,4603545\cdots ,$$voir la Modèle:OEIS.

On a aussi $$\zeta \left(\frac{1}{2}\right)=(1+\sqrt{2})\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}.$$

Entiers positifs

Entiers positifs pairs

Les valeurs exactes de la fonction zêta aux entiers positifs pairs peuvent être exprimées à partir des nombres de Bernoulli :

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\zeta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{(2{)}^{2n-1}{B}_{2n}}{(2n)!}{\pi }^{2n}.$$

Le calcul de Modèle:Math est connu comme le problème de Bâle. La valeur de Modèle:Math est liée à la loi de Stefan-Boltzmann et la loi de Wien en physique. Les premières valeurs sont : $$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\\ \zeta (4)& =1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}\\ \zeta (6)& =1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{945}\\ \zeta (8)& =1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\cdots =\frac{{\pi }^8}{9450}\\ \zeta (10)& =1+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\cdots =\frac{{\pi }^{10}}{93555}\\ \zeta (12)& =1+\frac{1}{2^{12}}+\frac{1}{3^{12}}+\cdots =\frac{691{\pi }^{12}}{638512875}\\ \zeta (14)& =1+\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{3^{14}}+\cdots =\frac{2{\pi }^{14}}{18243225}.\end{array}$$

On peut en déduire que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\zeta (2n)=1$.

Valeurs choisies aux entiers pairs

Valeur exacte	Approximation décimale	Source
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C

La relation entre la fonction zêta aux entiers pairs positifs et les nombres de Bernoulli s'écrit $$A_n\zeta (2n)={\pi }^{2n}{B}_n$$

avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont entiers pour tout Modèle:Mvar pair. On obtient ainsi les suites d'entiers Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C, dans l'OEIS. On donne certaines valeurs :

Coefficients

Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar
1	6	1
2	90	1
3	945	1
4	9450	1
5	93555	1
6	638512875	691
7	18243225	2
8	325641566250	3617
9	38979295480125	43867
10	1531329465290625	174611
11	13447856940643125	155366
12	201919571963756521875	236364091
13	11094481976030578125	1315862
14	564653660170076273671875	6785560294
15	5660878804669082674070015625	6892673020804
16	62490220571022341207266406250	7709321041217
17	12130454581433748587292890625	151628697551

Si on note Modèle:Math le coefficient devant Modèle:Math comme vu avant, $$\zeta (2n)=\sum _{\ell =1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\ell }^{2n}}={\eta }_n{\pi }^{2n}$$ alors on peut poser la relation de récurrence,

$${\eta }_1=\frac{1}{6},{\eta }_n=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1{)}^{\ell -1}\frac{{\eta }_{n-\ell }}{(2\ell +1)!}+(-1{)}^{n+1}\frac{n}{(2n+1)!}$$

Cette récurrence peut être déduite des nombres de Bernoulli.

Il y a une autre relation de récurrence : $$\zeta (2n)=\frac{2}{2n+1}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)\text{ pour }n>1$$ qui peut être prouvée en utilisant la dérivée de la fonction cotangente $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot (x)=-1-{\cot }^2(x).$

Les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs positifs ont pour fonction génératrice : $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\zeta (2n)x^{2n}=-\frac{\pi x}{2}\cot (\pi x)=-\frac{1}{2}+\frac{{\pi }^2}{6}{x}^2+\frac{{\pi }^4}{90}{x}^4+\frac{{\pi }^6}{945}{x}^6+\cdots$$ Puisque $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\zeta (2n)=1,$$ la formule permet de déduire $$\left|B_{2n}\right|{\sim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{(2n)!2}{(2\pi {)}^{2n}}.$$

Entiers positifs impairs

La somme de la série harmonique est infinie. $$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$$

La valeur Modèle:Math est aussi connue comme la constante d'Apéry et apparait dans le rapport gyromagnétique de l'électron. La valeur Modèle:Math apparait dans la loi de Planck. On donne les premières valeurs :

Premières valeurs aux entiers impairs

Valeur exacte	Approximation décimale	Source
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
Modèle:Math	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C

Il a été prouvé que Modèle:Math est irrationnel (théorème d'Apéry) et qu'une infinité de nombres de la forme Modèle:Math, sont irrationnels. Il existe des résultats sur l'irrationalité de valeurs de la fonction zêta de Riemann sur les éléments de certains sous-ensembles d'entiers impairs positifs ; par exemple au moins une des valeurs parmi Modèle:Math, ou Modèle:Math est irrationnelle.

Les valeurs de zêta aux entiers impairs positifs apparaissent en physique, plus spécifiquement dans les fonctions de corrélation des chaînes de spin XX- antiferromagnétiques.

La plupart des identités suivantes viennent de Simon Plouffe. Elles sont remarquables pour leur convergence rapide (au moins trois chiffres par itération) et donc utiles dans les calculs de haute précision.

Calcul de Modèle:Math

Plouffe donne les identités suivantes

$$\begin{array}{cc}\zeta (5)& =\frac{1}{294}{\pi }^5-\frac{72}{35}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^5({\mathrm{e}}^{2\pi n}-1)}-\frac{2}{35}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^5({\mathrm{e}}^{2\pi n}+1)}\\ \zeta (5)& =12\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^5\sinh (\pi n)}-\frac{39}{20}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^5({\mathrm{e}}^{2\pi n}-1)}-\frac{1}{20}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^5({\mathrm{e}}^{2\pi n}+1)}\end{array}$$

Calcul de Modèle:Math

On peut écrire la somme sous forme d'une série de Lambert. $$\zeta (7)=\frac{19}{56700}{\pi }^7-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^7({\mathrm{e}}^{2\pi n}-1)}$$

Calcul de Modèle:Math

En définissant les quantités $$S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s({\mathrm{e}}^{2\pi n}\pm 1)}$$ une série de relations peut être donnée sous la forme $$0=A_n\zeta (n)-B_n{\pi }^n+C_n{S}_{-}(n)+D_n{S}_{+}(n)$$

avec Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des suites d'entiers positifs. Plouffe donne une table de valeurs :

coefficients

Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar	Modèle:Mvar
3	180	7	360	0
5	1470	5	3024	84
7	56700	19	113400	0
9	18523890	625	37122624	74844
11	425675250	1453	851350500	0
13	257432175	89	514926720	62370
15	390769879500	13687	781539759000	0
17	1904417007743250	6758333	3808863131673600	29116187100
19	21438612514068750	7708537	42877225028137500	0
21	1881063815762259253125	68529640373	3762129424572110592000	1793047592085750

Ces constances entières peuvent être exprimées à partir des nombres de Bernoulli, comme donné dans (Vepstas, 2006).

Un algorithme facile pour le calcul de la fonction zêta de Riemann en tout entier est donné par E. A. KaratsubaModèle:,Modèle:,

Entiers négatifs

En général, pour tout entier négatif, on a $$\zeta (-n)=(-1{)}^n\frac{B_{n+1}}{n+1}$$

Les zéros "triviaux" sont aux entiers pairs négatifs (par sommation de Ramanujan) :

$$\zeta (-2n)=0$$

Les premières valeurs aux entiers négatifs $$\begin{array}{cc}\zeta (-1)& =-\frac{1}{12}\\ \zeta (-3)& =\frac{1}{120}\\ \zeta (-5)& =-\frac{1}{252}\\ \zeta (-7)& =\frac{1}{240}\\ \zeta (-9)& =-\frac{1}{132}\\ \zeta (-11)& =\frac{691}{32760}\\ \zeta (-13)& =-\frac{1}{12}\end{array}$$

Cependant, comme les nombres de Bernoulli, ils restent petits à mesure qu'on va plus loin dans les entiers négatifs. On pourra regarder l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

Ainsi Modèle:Math peut être utilisé comme définition pour tous les nombres de Bernoulli (dont ceux aux indices 0 et 1).

Dérivées

La dérivée de la fonction zêta aux entiers pairs négatifs donne : $${\zeta }^{\prime }(-2n)=(-1{)}^n\frac{(2n)!}{2(2\pi {)}^{2n}}\zeta (2n+1).$$

Les premières valeurs sont : $$\begin{array}{cc}{\zeta }^{\prime }(-2)& =-\frac{\zeta (3)}{4{\pi }^2}\\ {\zeta }^{\prime }(-4)& =\frac{3}{4{\pi }^4}\zeta (5)\\ {\zeta }^{\prime }(-6)& =-\frac{45}{8{\pi }^6}\zeta (7)\\ {\zeta }^{\prime }(-8)& =\frac{315}{4{\pi }^8}\zeta (9).\end{array}$$

On a aussi : $$\begin{array}{cc}{\zeta }^{\prime }(0)& =-\frac{1}{2}\ln (2\pi )\\ {\zeta }^{\prime }(-1)& =\frac{1}{12}-\ln A\\ {\zeta }^{\prime }(2)& =\frac{1}{6}{\pi }^2(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{array}$$

avec Modèle:Mvar est la constante de Glaisher–Kinkelin.

En partant de la dérivée logarithmique de l'équation fonctionnelle, $$2\frac{{\zeta }^{\prime }(1/2)}{\zeta (1/2)}=\log (2\pi )+\frac{\pi \cos (\pi /4)}{2\sin (\pi /4)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(1/2)}=\log (2\pi )+\frac{\pi }{2}+2\log 2+\gamma .$$

Dérivées choisies

Valeur	Approximation décimale	Source
${\zeta }^{\prime }(3)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(2)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(0)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-\frac{1}{2})$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-1)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-2)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-3)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-4)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-5)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-6)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-7)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C
${\zeta }^{\prime }(-8)$	Modèle:Val...	Modèle:OEIS2C

Séries impliquant Modèle:Math

Les sommes suivantes peuvent être dérivées de la fonction génératrice : $$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k)x^{k-1}=-{\psi }_0(1-x)-\gamma$$ où Modèle:Math est la fonction digamma.

Ainsi, on a : $$\begin{array}{cc}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (k)-1)& =1\\ \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (2k)-1)& =\frac{3}{4}\\ \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\zeta (2k+1)-1)& =\frac{1}{4}\\ \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\zeta (k)-1)& =\frac{1}{2}\end{array}$$

Il existe des séries utilisant la constante d'Euler-Mascheroni (notée Modèle:Mvar) : $$\begin{array}{cc}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k}& =\gamma \\ \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)-1}{k}& =1-\gamma \\ \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)-1}{k}& =\ln 2+\gamma -1\end{array}$$

et utilisant la valeur principale $$\zeta (k)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\zeta (k+\epsilon )+\zeta (k-\epsilon )}{2}$$ qui n'impacte que la valeur en 1, ces formules peuvent être écrites comme :

$$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)}{k}& =0\\ \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (k)-1}{k}& =0\\ \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\zeta (k)-1}{k}& =\ln 2\end{array}$$

et montrent qu'elles dépendent de la valeur principale de Modèle:Nowrap

Zéros non triviaux

Les zéros de la fonction zêta de Riemann sauf les entiers pairs négatifs sont appelés "zéros non triviaux". Il reste un problème complexe de la théorie des nombres. Voir le site d'Andrew Odlyzko pour les tables et les bibliographies.

Rapports

Si évaluer des valeurs particulières de la fonction zêta peut être difficile, on peut déterminer les valeurs de certains rapports entre deux valeurs données en utilisant astucieusement les valeurs particulières de la fonction Gamma d'Euler et sa formule de réflexion :

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$

On obtient pour deux valeurs demi-entières :

$\begin{array}{cc}\frac{\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}& =-4\pi \\ \frac{\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}& =-\frac{16{\pi }^2}{3}\\ \frac{\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}& =\frac{64{\pi }^3}{15}\\ \frac{\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}& =\frac{256{\pi }^4}{105}\end{array}$

D'autres exemples suivent pour des évaluations plus poussées et des relations de la fonction Gamma. Par exemple, une conséquence de la relation

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)=\sqrt[4]{\left(\frac{\pi }{2}\right)}\sqrt{\mathrm{AGM}(\sqrt{2},1)}$

permet d'obtenir $\frac{\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}=2\sqrt{\frac{\pi }{(2-\sqrt{2})\mathrm{AGM}(\sqrt{2},1)}}$

où Modèle:Math désigne la moyenne arithmético-géométrique. De façon similaire, il est possible d'obtenir des relations avec des radicaux, telles que

$\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{10}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{10}\right)}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2^{\frac{7}{10}}\sqrt[4]{5}}$

la relation analogue impliquant zeta est

$\frac{\zeta (1/5{)}^2\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5{)}^2}=\frac{(5-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{5+\sqrt{5}})}{10\times 2^{\frac{3}{10}}}$

Sources

• Modèle:Article
• Modèle:Lien web.
• Modèle:Lien web PDF.
• Modèle:Lien web
• Modèle:Article PDF PDF en russe PS en russe
• Travaux sur les zéros non triviaux par Andrew Odlyzko :
  • Bibliography
  • Tables