Cotangente

La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.

Définition

Géométriquement, dans un triangle rectangle $ABC$ d'hypoténuse $[AB]$ :

$\cot \hat{A}=\frac{AC}{BC}$.

En trigonométrie :

$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{\tan \theta }$.

Propriétés

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$.

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

${\cot }^{\prime }x=-{\csc }^{2}x$.

Primitive

Les primitives de la cotangente sont définies par :

$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln (\sin x)+C$.

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où $B_k$ désigne le $k$Modèle:E nombre de Bernoulli

$\cot x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$,

mais aussi :

$\pi \cot (\pi x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x+n}$,

dont on déduit :

$\cot (x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2{\pi }^2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x+n\pi }$.

Liens externes

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