Sommation de Ramanujan

Une sommation de Ramanujan, dans son premier cahier, montrant pourquoi la somme de tous les entiers est égale à -1/12.

En analyse, la sommation de Ramanujan est une technique inventée par le mathématicien Srinivasa Ramanujan pour donner une valeur aux séries infinies divergentes. Bien que la sommation de Ramanujan pour des séries divergentes ne soit pas une somme dans son sens traditionnel, elle possède des propriétés qui la rendent mathématiquement valide dans l'étude des séries divergentes, pour lesquelles le résultat de la méthode de sommation habituelle n'est pas défini.

Sommation

La sommation de Ramanujan est essentiellement une propriété des sommes partielles plutôt que de la somme totale, puisque cette dernière n'existe pas. Si l'on considère la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme sommatoire utilisant les nombres de Bernoulli, on obtient pour une fonction $f$, supposée $p$ fois dérivable, avec :

$R_k=\frac{(-1{)}^{k+1}}{k!}\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{(k)}(t)B_k(t)\mathrm{d}t$. $\frac{1}{2}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+\frac{1}{2}f(n)=\frac{f(0)+f(n)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\sum _{k=2}^p\frac{b_k}{k!}(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0))+R_p$

Ramanujan a écrit, dans le cas où Modèle:Mvar tend vers l'infini :

$\sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\frac{1}{2}f(x)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(x)$

où Modèle:Mvar est une constante spécifique à cette fonction et son prolongement analytique (les limites de l'intégrale n'ont pas été fournies par Ramanujan, mais les valeurs rajoutées ci-dessus sont très probables). En comparant les deux formules et en supposant que Modèle:Mvar tend vers 0 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini, on déduit dans le cas général, pour les fonctions Modèle:Math non divergentes en Modèle:Math :

$C(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0)$

là où Ramanujan supposait que Modèle:Math. En choisissant Modèle:Math, on retrouve la sommation habituelle pour les séries convergentes. Pour les fonctions Modèle:Math non divergentes en Modèle:Math, on obtient :

$C(a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\frac{1}{2}f(1)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(1).$

Modèle:Math a alors été proposé comme valeur de la somme de la série divergente. Elle relie la sommation à l'intégration.

La version convergente de sommation, pour les fonctions possédant la bonne condition de croissance, est alors :

$f(1)+f(2)+f(3)+\dots =-\frac{f(0)}{2}+\mathrm{i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\mathrm{i}t)-f(-\mathrm{i}t)}{{\mathrm{e}}^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t$.

Somme de séries divergentes

Par la suite, $(\mathrm{\Re })$ indique une sommation de Ramanujan. Cette notation vient de l'un des carnets de Ramanujan, sans aucune indication disant que c'est une nouvelle méthode de sommation.

Par exemple, la sommation $(\mathrm{\Re })$ de Modèle:Nobr est :

$1-1+1-\cdots =\frac{1}{2}(\mathrm{\Re })$.

Ramanujan a calculé ces sommations particulières pour des séries divergentes connues. Il est important de noter que les sommations de Ramanujan ne sont pas des sommes de séries au sens habituel du termeModèle:, ; en particulier, les sommes partielles ne convergent pas vers cette valeur, signalée par le symbole $(\mathrm{\Re })$. Par exemple, la sommation $(\mathrm{\Re })$ de Modèle:Nobr donne :

$1+2+3+\cdots =-\frac{1}{12}(\mathrm{\Re })$

Plus généralement, on obtient pour les puissances positives paires :

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0(\mathrm{\Re })$

et pour les puissances impaires, on obtient une relation avec les nombres de Bernoulli :

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-\frac{B_{2k}}{2k}(\mathrm{\Re });$ ces résultats coïncident avec ceux obtenus par la méthode dite de régularisation zêta.

Historique

Dans sa seconde lettre à Godfrey Harold Hardy, datée du Modèle:Date-, Ramanujan écrit : Modèle:Citation bilingue bloc

Le roman de David Leavitt Modèle:Lien inclut une scène où Hardy et Littlewood discutent du sens de ce passage.

Articles connexes

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• Sommation de Borel
• Sommation de Cesàro