Résidu (analyse complexe)

Modèle:Homon En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.

Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826.

Définition et propriétés

Soit $D\subseteq ℂ$ un ouvert de $ℂ$, $D_f$ un ensemble dans Modèle:Mvar de points isolés et $f:D\setminus D_f\to ℂ$ une fonction holomorphe. Pour chaque point $a\in D_f$, il existe un voisinage de Modèle:Mvar noté $U=U_r(a)\setminus \{a\}\subset D$ relativement compact dans Modèle:Mvar, tel que $f{|}_U$ est holomorphe. La fonction Modèle:Mvar possède dans ce cas un développement de Laurent sur Modèle:Mvar :

$f{|}_U(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$.

On définit alors le résidu de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar par : Modèle:Bloc emphase

Le résidu d'une fonction holomorphe Modèle:Mvar en un point singulier Modèle:Mvar (pôle ou point singulier essentiel) est donc Modèle:Math, c'est-à-dire le coefficient de $1/(z-a)$ dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de Modèle:Mvar.

Le résidu est $ℂ$-linéaire, c’est-à-dire que pour $\lambda ,\mu \in ℂ$ on a : ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_a(\lambda f+\mu g)=\lambda {\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f+\mu {\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}g$.

Méthodes de calcul

On calcule les résidus traditionnellement de deux manières :

• soit à partir du développement de Laurent au voisinage de Modèle:Mvar ;
• soit en utilisant la formule générale suivante, si Modèle:Mvar possède en Modèle:Mvar un pôle d'ordre Modèle:Mvar :

Pour deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar à valeurs dans $ℂ$, on a également les relations suivantes :

• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un pôle d'ordre 1 : ${\mathrm{Res}}_{a}f=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to a}(z-a)f(z)$ ;
• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un pôle d'ordre 1 et si Modèle:Mvar est holomorphe en Modèle:Mvar : ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}gf=g(a){\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f$ ;
• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un zéro d'ordre 1 : ${\mathrm{Res}}_a\frac{1}{f}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$ ;
• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un zéro d'ordre 1 et si Modèle:Mvar est holomorphe en Modèle:Mvar : ${\mathrm{Res}}_a\frac{g}{f}=\frac{g(a)}{f^{\prime }(a)}$ ;
• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un zéro d'ordre Modèle:Mvar : ${\mathrm{Res}}_a\frac{f^{\prime }}{f}=n$ ;
• Si Modèle:Mvar a en Modèle:Mvar un zéro d'ordre Modèle:Mvar et si Modèle:Mvar est holomorphe en Modèle:Mvar : ${\mathrm{Res}}_{a}g\frac{f^{\prime }}{f}=g(a)n$ .

Exemples

• ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{a}f=0$ quand Modèle:Mvar est holomorphe en Modèle:Mvar.
• Soit $f(z)=\frac{1}{z}$. Modèle:Mvar a en 0 un pôle d'ordre 1, et ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{0}f=1$.
• $f(z)=\frac{\cos (z)}{z}=\frac{1}{z}-\frac{z}{2!}+\frac{z^3}{4!}-\cdots$ au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1.
• ${\mathrm{Res}}_1\frac{z}{z^2-1}=\frac{1}{2}$, comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque $z\mapsto z^2-1$ a en 1 un zéro d'ordre 1.
• La fonction gamma a en Modèle:Mvar pour tout $n\in \mathbb{N}$ un pôle d'ordre 1, et le résidu vaut ${\mathrm{Res}}_{-n}\mathrm{\Gamma }=\frac{(-1{)}^n}{n!}$.

Théorème des résidus

Modèle:Article détaillé Soit Modèle:Mvar une fonction holomorphe sur $\mathrm{\Omega }$, un ouvert étoilé ou plus généralement simplement connexe, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble $S\subset \mathrm{\Omega }$. Alors si $\gamma$ est un lacet tracé dans $\mathrm{\Omega }$ et ne rencontrant pas Modèle:Mvar, on a :

$\underset{\gamma }{\int }f(z)\mathrm{d}z=2\mathrm{i}\pi \sum _{z\in S}{\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z)\mathrm{Res}(f,z)$

où ${\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z)$ est l'indice du chemin $\gamma$ au point Modèle:Mvar.

Références

• Claude Wagschal, Fonctions holomorphes. Équations différentielles, Hermann, coll. « Méthodes », 2003, p. 119-120.
• Augustin Louis Cauchy, Exercices de mathématiques, 1826, p. 11 Voir en ligne