Partie étoilée

Exemple de partie étoilée : la partie rouge est :
– étoilée par rapport au point vert ;
– mais non étoilée par rapport au point bleu.

En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.

Définitions

Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si

$\mathrm{\forall }x\in A\{(1-t)a+tx\mid t\in [0,1]\}\subset A.$

(Cette condition assure que a est forcément dans A.)

Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.

Propriétés affines

• Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour $t\in [0,1]$.
• Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
• Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
• Une partie $A$ d'un espace vectoriel réel $E$ est étoilée par rapport à $0$ si et seulement s'il existe une fonction $p:E\to [0,+\mathrm{\infty }]$ positivement homogène (au sens : $\mathrm{\forall }t\in [0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{\forall }x\in Ep(tx)=tp(x)$, avec la convention $0\times \mathrm{\infty }=0$) telle que $\{x\in E\mid p(x)<1\}\subset A\subset \{x\in E\mid p(x)\le 1\}$. Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de $A$ : $\mathrm{\forall }x\in Ep(x)=\inf \{\lambda >0\mid x\in \lambda A\}$.

Propriétés topologiques

On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.

• Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
• Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
• La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
• D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.