Fonction homogène
En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.
Définitions
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.
Une fonction Modèle:Math de E dans F est dite homogène de degré Modèle:Math si
Si K est un sous-corps des réels, on dit que Modèle:Math est positivement homogène de degré Modèle:MathModèle:Note si
Si K est un sous-corps des complexes, on dit que Modèle:Math est absolument homogène de degré Modèle:Math si
Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré Modèle:Math pour un certain Modèle:Math » ou « positivement homogène de degré Modèle:Math »[2].
Exemples
- L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
- Une application linéaire est homogène de degré 1.
- Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
- Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une normeModèle:Etc.
- La dérivée directionnelle (au sens de Dini) d'une fonction Modèle:Math définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
- Le déterminant d'une matrice de est homogène de degré n.
Propriété
Une fonction différentiable de ℝModèle:Exp dans ℝModèle:Exp est positivement homogène si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
Modèle:Lien archive : cours en ligne
- ↑ Pour Modèle:Math, c'est par exemple la définition de Modèle:Ouvrage. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas t = 0 dans la définition, imposant ainsi de plus , comme Modèle:Ouvrage ou Modèle:Article.
- ↑ Par exemple, Modèle:Harvsp, donne la définition d'une fonction Modèle:Citation et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Modèle:Harvsp, le degré 1 est implicite dès la définition.