Application sous-linéaire

Soit $V$ un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application $s : V \to ℝ \cup {+ \infty}$ est sous-linéaire^[1] lorsque :

pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $V$ , $s (x + y) \leq s (x) + s (y)$ (on dit que $s$ est sous-additive),
pour tout vecteur $x$ et tout $λ \geq 0$ , $s (λ x) = λ s (x)$ ^[2] (on dit que $s$ est positivement homogène^[3]).

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.

Notes et références

Modèle:Références

Modèle:Portail

↑ Cf. Modèle:Ouvrage. Dans le cas particulier $V = ℝ^{n}$ , on trouve une définition équivalente dans Modèle:Ouvrage et dans Modèle:Ouvrage.
↑ Pour $λ = 0$ (avec la convention $0 \times \infty = 0$ ), cette condition implique $s (0) = 0$ .
↑ Ou « positivement homogène de degré 1 ».

[1] Cf. Modèle:Ouvrage. Dans le cas particulier $V = ℝ^{n}$ , on trouve une définition équivalente dans Modèle:Ouvrage et dans Modèle:Ouvrage.

[2] Pour $λ = 0$ (avec la convention $0 \times \infty = 0$ ), cette condition implique $s (0) = 0$ .

[3] Ou « positivement homogène de degré 1 ».

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Application sous-linéaire

Notes et références

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