Sous-additivité

En mathématiques, une fonction f est dite sous-additive lorsque, pour tous les éléments x et y, Modèle:Nobr.

Cela n'a de sens que si l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de la fonction sont munis chacun d'une addition +, et si l'ensemble d'arrivée est muni d'une relation d'ordre ≤.

Plus généralement, toute fonction concave $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ telle que $f(0)\ge 0$ est sous-additive.

Exemples

• Le module dans $ℂ$ (par inégalité triangulaire).
• Les normes dans des espaces vectoriels normés.
• La fonction ${ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+},$ $x\mapsto \mathrm{l}\mathrm{n}(1+x)$.
• Les fonctions puissances ${ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+},x\mapsto x^a$ d'exposant $a\in [0,1]$.
• La fonction [[Racine n-ième|racine Modèle:Math-ième]] pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, cas particulier des fonctions puissances ($\sqrt[n]{x+y}\le \sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}$).
• La fonction $f:𝒫(E)\to \mathbb{N},A\mapsto \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$, où l'addition dans $𝒫(E)$ est l'union ensembliste $\cup$, et l'addition dans $\mathbb{N}$ est l'addition usuelle. En effet, par la formule du crible, $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)-\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)\le \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$.

Articles connexes

• Lemme sous-additif
• Inégalité triangulaire
• Norme (mathématiques)
• Semi-norme
• Fonction sous-identitaire