Fonction d'appui

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie Modèle:Mvar d'un espace normé réel Modèle:Mvar est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar associe la borne supérieure de [[Image directe|Modèle:Math]] dans [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]].

Définition

La fonction d'appui d'une partie Modèle:Mvar d'un espace normé Modèle:Mvar est la fonction notée Modèle:Mvar et définie par

${\sigma }_P:E^{\prime }\to \overline{ℝ}:s\mapsto {\sigma }_P(s)=\underset{x\in P}{\sup }⟨s,x⟩,$

où Modèle:Mvar est le dual topologique de Modèle:Mvar et $⟨s,x⟩$ est la valeur de la forme linéaire continue Modèle:Mvar en Modèle:Mvar.

En particulier, ${\sigma }_{\varnothing }(s)=-\mathrm{\infty }$ ([[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|Modèle:Math]]).

Exemples

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

• La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est la fonction d'appui de Modèle:Mvar.
• La fonction d'appui de la boule unité de Modèle:Mvar est la norme canonique du dual Modèle:Mvar.
• Si Modèle:Mvar est un espace euclidien et si Modèle:Mvar est une fonction convexe propre définie sur Modèle:Mvar à valeurs dans $ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$, sa dérivée directionnelle $f^{\prime }(x;\cdot )$ en un point Modèle:Mvar dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de Modèle:Mvar en Modèle:Mvar (voir « Formule du max »).

Propriétés

• La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
• Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
• Toute partie Modèle:Mvar a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée Modèle:Math. Plus précisément :${\sigma }_P⩽{\sigma }_Q\iff \overline{\mathrm{co}}(P)\subset \overline{\mathrm{co}}(Q)$.
• A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :${\sigma }_P={\sigma }_{\bar{P}}={\sigma }_{\mathrm{co}(P)}$.

Règles de calcul

Somme pondérée d'ensembles

Pour toutes parties Modèle:Math de Modèle:Mvar et tous réels positifs Modèle:Math,

${\sigma }_{\alpha P+\beta Q}=\alpha {\sigma }_P+\beta {\sigma }_Q$.

Transformation par une application linéaire

Soient Modèle:Mvar un autre espace normé, $A:E\to F$ une fonction linéaire continue, $A^{*}:F^{\prime }\to E^{\prime }$ son adjointe et Modèle:Mvar une partie de Modèle:Mvar.

Alors ${\sigma }_{A(P)}:F^{\prime }\to \overline{ℝ}$ s'écrit${\sigma }_{A(P)}={\sigma }_P\circ A^{*}$.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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