Domaine effectif

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}$ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\mathrm{\infty }$.

Définition

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction $f:𝔼\to \overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, définie sur un ensemble $𝔼$, est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\mathrm{\infty }$ (elle peut y prendre la valeur $-\mathrm{\infty }$ cependant). On le note le plus souvent Modèle:Centrer On accepte que $f$ prenne la valeur $-\mathrm{\infty }$ sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque $f$ est convexe.

Propriété

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière Modèle:Centrer est convexe fermée, mais son domaine effectif ${ℝ}_{++}$ n'est pas fermé dans $ℝ$.

Bibliographie

• Modèle:En J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• Modèle:En Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. Modèle:ISBN.
• Modèle:En R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.