Application transposée

Modèle:Ébauche Modèle:À sourcer Modèle:Homon En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire Modèle:Nobr entre deux espaces vectoriels est l'application Modèle:Nobr entre leurs duals définie par :

$\mathrm{\forall }\ell \in F^{*},{}^{\mathrm{t}}u(\ell )=\ell \circ u$

ou encore, si $⟨,⟩$ est le crochet de dualité de Modèle:Nobr :

$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }\ell \in F^{*},{⟨}^{\mathrm{t}}u(\ell ),x⟩=⟨\ell ,u(x)⟩.$

La forme linéaire résultante ${\mathrm{t}}^{}u(\ell )\in E^{*}$ est nommée application transposée de $\ell$ le long de $u$.

Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore un module à droite sur l'anneau opposé KModèle:Exp.

Propriétés

• L'application Modèle:Expu ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
• L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*).
• Modèle:Math (donc Modèle:Math est injective si et seulement si Modèle:Mvar est surjective) et Modèle:Math (donc Modèle:Math est surjective si et seulement si Modèle:Mvar est injective).
• L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,${\mathrm{t}}^{}(v\circ u)={}^{\mathrm{t}}u{\circ }^{\mathrm{t}}v.$(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
• Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)]Modèle:Exp = (Modèle:Expu)Modèle:-1(AModèle:Exp), et u(A) ⊂ B ⇒ Modèle:Expu(BModèle:Exp) ⊂ AModèle:Exp.
• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif, de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :${\mathrm{mat}}_{C^{*},B^{*}}{(}^{\mathrm{t}}u)={}^{\mathrm{t}}{\mathrm{mat}}_{B,C}(u).$En effet, si B = (eModèle:Ind, …, eModèle:Ind) et C = (fModèle:Ind, …, fModèle:Ind), l'élément d'indices i,k de la matrice matModèle:Ind(Modèle:Expu) est 〈Modèle:Expu(fModèle:Ind*), eModèle:Ind〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice matModèle:Ind(u) est 〈fModèle:Ind*, u(eModèle:Ind)〉.
• Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule Modèle:Exp(AB) = Modèle:ExpB.Modèle:ExpA.

Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application $f$ entre deux ensembles :

$f:X\to Y$.

On en déduit pour tout ensemble $Z$ une application $f^{*}$ :

$f^{*}:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Ensemble}(Y,Z)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Ensemble}(X,Z)$

définie par $f^{*}(g)=g\circ f$ où ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Ensemble}(A,B)$ désigne l'ensemble $B^A$ des applications de $A$ dans $B$.

Si $X$, $Y$ et $Z$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

$f^{*}:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Groupe}(Y,Z)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Groupe}(X,Z)$

où cette fois ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{Groupe}(A,B)$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de $A$ dans $B$.

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiquesModèle:Etc.

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.

Si $ℭ$ est une catégorie $X$, $Y$ sont des objets de $ℭ$ et $f$ est un élément de ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℭ}(X,Y)$. Alors pour tout objet $Z$ de $ℭ$, il existe une application $f^{*}$ appelée transposée de $f$ :

$f^{*}:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℭ}(Y,Z)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℭ}(X,Z)$.

C'est l'image ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℭ}(f,Z)$ de $f$ par le foncteur Hom contravariant ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℭ}(\cdot ,Z)$ de $ℭ$ dans la catégorie $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{s}$ des ensembles.

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