Anneau opposé
Modèle:Ébauche En algèbre, l'anneau opposé[1] A0 ou Aop d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note et les multiplications respectives de A et Aop, on a
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La notion d'anneau opposé permet d'unifier l'étude des modules à gauche et des modules à droite, car les modules à droite sur un anneau sont exactement les modules à gauche sur l'anneau opposé[2].
Propriétés
A et Aop ont même zéro et (le cas échéant) même unité. L'égalité A = Aop a lieu si et seulement si A est commutatif. En particulier, si A est un corps, Aop aussi.
Si A est un corps gauche (également appelé anneau à division) qui n'est pas commutatif, l'anneau opposé de A est lui aussi un corps gauche non commutatif. Dans ce cas, on parle parfois du « corps opposé de A » plutôt que de « l'anneau opposé de A »[3].
Toute K-algèbre A est isomorphe à l'opposée de la K-algèbre des endomorphismes du A-module A :
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Voir aussi
Notes et références
- ↑ Expression conforme à Modèle:Ouvrage, déf. V, qui emploie la notation A0.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Voir par exemple Modèle:Harvsp, prop. 10.