Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de [[Classe de régularité|classe CModèle:1]] est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

Modèle:Voir En dimension n, une 1-forme

$\omega (u)=a_1(u)\mathrm{d}{x}_1+...+a_n(u)\mathrm{d}{x}_n$

est fermée si

$\mathrm{\forall }i<j\le n\frac{\partial a_i}{\partial x_j}-\frac{\partial a_j}{\partial x_i}=0.$

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

• En dimension 1, une 1-forme dérivableModèle:Retraitest toujours fermée.
• En dimension 2, une 1-formeModèle:Retraitest fermée siModèle:Retrait
• En dimension 3, une 1-formeModèle:Retraitest fermée siModèle:Retraitce qui correspond à$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\mathrm{\Omega }=\mathrm{𝟎}$avec$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\end{array}\right).$

Références

• Modèle:Lafontaine1
• Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 Modèle:Lire en ligne