Forme différentielle exacte

En analyse, une forme différentielle est dite exacte (ou totale) s'il existe une forme différentielle dont elle est la dérivée extérieure, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer. En résumé, une forme différentielle Modèle:Math est exacte s'il existe une forme Q telle que

\int_{a}^{b} ω = Q (b) - Q (a)

, indépendamment du chemin d'intégration de Modèle:Math à Modèle:Math.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de [[Classe de régularité|classe CModèle:1]] est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

Une [[Forme différentielle de degré un|1-forme Modèle:Math]] définie sur un ouvert Modèle:Math est exacte s'il existe une fonction Modèle:Math différentiable sur Modèle:Math telle que Modèle:Math autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel Modèle:Math est le produit scalaire est un champ de gradient.

En thermodynamique, quand une 1-forme différentielle Modèle:Math est exacte, donc de la forme Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques énergie interne Modèle:Math, entropie Modèle:Math, enthalpie Modèle:Math, énergie libre Modèle:Math ou Modèle:Math et enthalpie libre Modèle:Math sont des fonctions d'état. Généralement ni le travail Modèle:Math, ni la chaleur Modèle:Math ne sont des fonctions d'état.

D'après le lemme de Poincaré, sur un ouvert simplement connexe, une 1-forme différentielle de classe CModèle:1 est exacte si (et seulement si) elle est fermée.