Fonctionnelle de Minkowski

Modèle:Voir homonymes En géométrie, la notion de jauge généralise celle de semi-norme. À toute partie Modèle:Math d'un ℝ-espace vectoriel Modèle:Math on associe sa jauge, ou fonctionnelle de Minkowski Modèle:Math, qui est une application de Modèle:Math dans [[Droite réelle achevée|Modèle:Math]] mesurant, pour chaque vecteur, par quel rapport il faut dilater Modèle:Math pour englober ce vecteur. Dès que Modèle:Math contient l'origine, Modèle:Math est positivement homogène ; si Modèle:Math est étoilée par rapport Modèle:Nobr Modèle:Math possède d'autres propriétés élémentaires. Si Modèle:Math est convexe — cas le plus souvent étudié — Modèle:Math est même sous-linéaire, mais elle n'est pas nécessairement symétrique et elle peut prendre des valeurs infinies. Sous certaines hypothèses supplémentaires, Modèle:Math est une semi-norme dont Modèle:Formule est la boule unité.

Cette notion intervient en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge, optimisation conique), en apprentissage automatique, en géométrie des nombres (second théorème de Minkowski)Modèle:Etc.

Dans tout cet article, Modèle:Math désigne un espace vectoriel réel, qu'on supposera topologique chaque fois que nécessaire.

Jauge d'une partie quelconque

Exemple

Soient $E=ℝ$ et $A\subset {ℝ}_{+}^{*}$ tel que $\sup (A)=1$. Pour tout $x>0$, $p_A(x)=x$ et pour tout $x\le 0$, $p_A(x)=$[[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|Modèle:Math]].

Premières remarques

• $A\subset p_A^{-1}([0,1])\subset \mathrm{dom}{p}_A={\cup }_{\lambda >0}\lambda A$. En particulier, $p_A(0)=+\mathrm{\infty }$ si $0\notin A$, et l'on a :

• $A\mapsto p_A$ est décroissante : pour toutes parties $A$ et $B$,$A\subset B\Rightarrow p_A\ge p_B$.
• Les ensembles de sous-niveau de $p_A$ sont homothétiques :$\mathrm{\forall }t>0p_A^{-1}([0,t])=t{p}_A^{-1}([0,1])$ou, ce qui est équivalent : pour tout vecteur $x$, $\mathrm{\forall }t>0p_A(tx)=t{p}_A(x)$.
• Par conséquent, $p_A$ est :
  • « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si et seulement si $p_A^{-1}([0,1])$ est fermé,
  • semi-continue supérieurement si et seulement si $p_A^{-1}([0,1[)$ est ouvert.
• $p_{-A}(x)=p_A(-x)$ (donc si $A$ est symétrique par rapport à Modèle:Math alors $\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^{*}{p}_A(tx)=|t|p_A(x)$).
• $\mathrm{\forall }t>0p_{tA}=t^{-1}{p}_A$.
• Modèle:AncreSi $0\in A$ alors $p_A(0)=0$ donc $p_A$ est positivement homogène, c'est-à-dire que l'équation fonctionnelle précédente est vérifiée non seulement pour $t>0$ mais aussi pour $t=0$ :
  $\mathrm{\forall }t\ge 0\mathrm{\forall }x\in E{p}_A(tx)=t{p}_A(x)$.
  
  La section suivante montre que réciproquement, toute fonction positivement homogène de $E$ dans $[0,+\mathrm{\infty }]$ est une jauge (c'est-à-dire : est la jauge d'une partie de $E$).

Jauge d'une partie étoilée

Avant d'affiner l'étude dans le cas particulier plus utile d'un convexe contenant Modèle:Math, considérons une partie étoilée (par rapport à Modèle:Math, ce qui sera désormais implicite), c'est-à-dire une partie $S\subset E$ contenant Modèle:Math et telle que

$\mathrm{\forall }x\in S[0,x]\subset S$.

Propriétés algébriques

On sait déjà que $S\subset p_S^{-1}([0,1])$ et que $p_S$ est positivement homogène. La nouvelle hypothèse permet de préciser la situation : Modèle:Théorème En outre :

• pour toutes parties étoilées $S_1$ et $S_2$, $p_{S_1\cap S_2}(x)=\max (p_{S_1}(x),p_{S_2}(x))$ (ce qui est plus précis que la simple décroissance de $S\mapsto p_S$) ;
• $p_S^{-1}(\{0\})={\cap }_{\epsilon >0}\epsilon S$ donc $p_S(x)=0\iff {ℝ}_{+}x\subset S$, ce qui fournit la première des deux équivalences ci-dessous ;
• la condition suffisante de finitude trouvée précédemment pour une partie quelconque devient nécessaire (seconde équivalence).

Ces deux conditions seront reformulées plus loin, dans le cas d'un convexe en dimension finie.

Propriétés topologiques

L'une des deux inclusions de la caractérisation ci-dessus est parfois une égalité :

• si Modèle:Formule est ouvert alors $S=p_S^{-1}([0,1[)$ ;
• si Modèle:Formule est fermé alors $S=p_S^{-1}([0,1])$.

Jauge d'un convexe

Si une jauge $p$ nulle en Modèle:Math est convexe alors les deux ensembles $p^{-1}([0,1])$ et $p^{-1}([0,1[)$ sont non seulement étoilés mais convexes, et $p$ est la jauge de ces deux convexes. Les jauges de ce type sont caractérisées par la propriété suivante.

Modèle:Énoncé Toute application sous-linéaire est convexe et pour une jauge nulle en Modèle:Math, ces deux notions sont équivalentes :

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant.

Exemple

La fonction sous-linéaire $p$ sur ${ℝ}^2$ qui, en $(x_1,x_2)\ne (0,0)$, vaut $x_2$ si $x_2>0$ et $+\mathrm{\infty }$ si $x_2\le 0$, est la jauge des deux convexes $p^{-1}([0,1[)=(ℝ\times ]0,1[)\cup \{(0,0)\}$ et $p^{-1}([0,1])=(ℝ\times ]0,1])\cup \{(0,0)\}$, ainsi que de tous les ensembles intermédiaires (tous étoilés, mais pas tous convexes).

Jauges sous-linéaires ne prenant pas la valeur Modèle:Math

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée $S$ est à valeurs finies si et seulement si $S$ est absorbante.

Tout voisinage de 0 est absorbant ; en dimension finie, on vérifie facilement que réciproquement, tout convexe absorbant Modèle:Math est un voisinage de 0 — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, $p_C$ est alors continue, et que l'ensemble $\{x\in E\mid p_C(x)<1\}$ (contenant Modèle:Math et inclus dans Modèle:Math) est donc ouvert. En résumé :

Lorsque Modèle:Math est intérieur à Modèle:Formule, on peut se faire une image mentale simple de la jauge via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur Modèle:Math est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jauge prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si Modèle:Formule est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur Modèle:Math, la jauge est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si l'on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module Modèle:Math.

Jauges sous-linéaires ne s'annulant qu'en l'origine

On a déjà remarqué que la jauge d'une partie étoilée $S$ ne s'annule qu'en l'origine si et seulement si $S$ ne contient aucune demi-droite issue de l'origine.

Si $S$ est bornée (dans un espace vectoriel normé ou plus généralement, dans un espace vectoriel topologique séparé) alors elle ne contient aucune telle demi-droite.

La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 (la seule hypothèse « convexe » ne suffit pas ici : cf. § « Exemple » ci-dessus) :

Exemples d'utilisation

• Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de jauges qu'on peut caractériser les espaces localement convexes en termes de semi-normes.
• En géométrie des convexes, la jauge est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un hyperplan) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du théorème de Hahn-Banach — fondement de toute la théorie de la séparation des convexes et des hyperplans d'appui —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation Modèle:Formule qu'il évite un convexe donné Modèle:Math (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à Modèle:Formule de majorer Modèle:Math.

Aspects calculatoires

Dans cette section, il s'agira exclusivement de jauges sous-linéaires sur un espace euclidien $E$, dont le produit scalaire est noté $⟨\cdot ,\cdot ⟩$.

Pour une telle jauge $p$, nous noterons $C_p$ son ensemble de sous-niveau $1$ :

$C_p:=\{x\in E\mid p(x)\le 1\}$.

Rappelons que l'adhérence d'une partie $P$ de $E$ est notée $\bar{P}$ et que le polaire de $P$ est le convexe fermé contenant l'origine, noté et défini par

$P^{\circ }:=\{y\in E\mid \mathrm{\forall }x\in P⟨y,x⟩\le 1\}.$

On peut donner une autre expression du polaire de $C_p$ :

${C_p}^{\circ }=\{y\in E\mid \mathrm{\forall }x\in E⟨y,x⟩\le p(x)\}$.

Adhérence

Par conséquent :

• $\bar{p}$ est la plus grande jauge fermée minorant $p$ ;
• les épigraphes de $p$ et $\bar{p}$ sont reliés par $\mathrm{epi}(\bar{p})=\overline{\mathrm{epi}p}$.

Polaire

Propriétés

• $p^{\circ }$ est fermée.
• $\mathrm{\forall }y\in E{p}^{\circ }(y)=\inf \{s>0\mid \mathrm{\forall }x\in E⟨x,y⟩\le sp(x)\}$.
• La bipolaire de $p$ est égale à son adhérence : $p^{\circ \circ }=\bar{p}$ (car ${C_p}^{\circ \circ }=\overline{C_p}$, d'après les propriétés de l'ensemble bipolaire).
• La polaire de $p_C$ est égale à la fonction d'appui ${\sigma }_C$ de $C$, donc à la conjuguée de la fonction indicatrice de $C$.
• Si $p$ est une norme, $p^{\circ }$ est sa norme duale (en particulier si $p$ est la norme euclidienne, $p^{\circ }=p$).
• Inégalité de Cauchy-Schwarz généralisée :Modèle:Retrait donc (en remplaçant $p$ par $p^{\circ }$)Modèle:Retraitce qui renforce l'inégalité précédente puisque $p^{\circ \circ }=\bar{p}\le p$.

Sous-différentiel

Le sous-différentiel

$\partial p(x)$

de

$p$

en un point

$x\in E$

vérifie

$\partial p(x)=\{y\in {C_p}^{\circ }\mid ⟨y,x⟩=p(x)\}$

(en particulier, $\partial p(0)={C_p}^{\circ }$ et si $p(x)=+\mathrm{\infty }$, $\partial p(x)=\varnothing$).

On en déduit :

$\partial p(x)\subset$Modèle:Math${}_{y\in {C_p}^{\circ }}⟨y,x⟩$, avec égalité si $p$ est fermée.

Quelques remarques sur le résultat ci-dessus.

• Il existe des jauges $p$ et des points $x$ pour lesquels l'inclusion ci-dessus est stricte.
  C'est le cas, dans le plan euclidien, pour la jauge $p$ du § « Exemple » ci-dessus et le point $x:=(1,0)$ : $\partial p(x)=\varnothing$, tandis que ${C_p}^{\circ }={(ℝ\times ]0,1])}^{\circ }=\{0\}\times ]-\mathrm{\infty },1]$ donc ${\mathrm{argmax}}_{y\in {C_p}^{\circ }}⟨y,x⟩={C_p}^{\circ }$.
• $p$ est sous-différentiable en tout point de $E$ si, et seulement si, Modèle:Math est intérieur à $C_p$.
  En effet Modèle:Supra Modèle:Math est intérieur à $C_p$ si et seulement si $p$ ne prend que des valeurs finies. Or si $p$ ne prend que des valeurs finies alors elle est sous-différentiable en tout point (puisqu'elle est convexe), et réciproquement (puisque $\partial p(x)\ne \varnothing \Rightarrow p(x)\ne +\mathrm{\infty }$).

Bibliographie

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