Espace localement convexe

En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé.

Définition

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1. il existe une famille de semi-normes $𝒫$ telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications $\{x\mapsto p(x-y)\mid y\in E,p\in 𝒫\}$ ;
2. le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante. Modèle:Démonstration

Exemples

• Tout espace vectoriel normé est localement convexe (topologie définie par une seule semi-norme : la norme).
• La topologie faible d'un espace vectoriel topologique est localement convexe. On utilise les formes linéaires continues en module comme famille de semi-normes.
• Sur son dual topologique, les topologies forte et faible-* sont, elles aussi, définies chacune par une famille de semi-normes.

Contre-exemples

• Pour Modèle:Formule, les [[Espace_de_suites_ℓp|espaces métriques de suites Modèle:Formule]] et les [[Espace Lp|espaces métriques de fonctions Modèle:Formule]] ne sont pas des espaces localement convexes.

Critère de séparation

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit si et seulement si pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

Continuité d'une fonction

Soient $(E,𝒫),(F,𝒬)$ deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes $𝒫$ (supposée filtrante) et $𝒬$ (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Par exemple (en prenant $F=ℝ$ et $𝒬=(||)$), toutes les semi-normes appartenant à $𝒫$ sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue si et seulement si elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme p ∈ $𝒫$ et d'une constante C > 0 telles que q ≤ Cp. On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Métrisabilité

Les analogues pour p < 1 des espaces L^p avec p ≥ 1 sont métrisables par une distance invariante, mais ne sont pas localement convexes.

Pour tout ouvert non vide $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ l'espace $𝒟(\mathrm{\Omega })$ des [[Fonction C∞ à support compact|fonctions CModèle:Exp à support compact]] de $\mathrm{\Omega }$ dans $ℝ$ est naturellement muni d'une structure localement convexe non métrisable.

Remarquons que tout espace vectoriel topologique normable est localement convexe et métrisable. Cependant la réciproque n'est pas vraie : par exemple l'espace de Schwartz est de Fréchet, en particulier localement convexe et métrisable, mais nucléaire et de dimension infinie, donc non normable. Un autre exemple d'espace localement convexe métrisable mais non normable est [[Espace métrique#Produit d'espaces métriques|RModèle:Exp]].

Espace de Fréchet

Modèle:Article détaillé Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).