Espace de Schwartz

Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide.

En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace $𝒮$ des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual ${𝒮}^{\prime }$ de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces $𝒮$ et ${𝒮}^{\prime }$ jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Définition

Une fonction Modèle:Mvar fait partie de l'espace $𝒮({ℝ}^N)$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si Modèle:Mvar et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à $𝒮({ℝ}^N)$ sont dites déclinantes.

Pour deux multi-indices $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^N$, on définit les semi-normes $\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha ,\beta }$ par

$\Vert f{\Vert }_{\alpha ,\beta }=\Vert x^{\alpha }{D}^{\beta }f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

où $D^{\beta }f$ est la dérivée d'ordre $\beta$ de Modèle:Mvar. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme

$𝒮({ℝ}^N)=\{f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)\mid \mathrm{\forall }(\alpha ,\beta )\Vert f{\Vert }_{\alpha ,\beta }<+\mathrm{\infty }\}$.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre $𝒮$.

Propriétés

Topologie

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes $(\Vert .{\Vert }_{\alpha ,\beta }{)}_{\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^N}$, équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes $({𝒩}_p{)}_{p\in \mathbb{N}}$ définie par :

${𝒩}_p(.)=\sum _{|\alpha |,|\beta |\le p}\Vert .{\Vert }_{\alpha ,\beta },p\in \mathbb{N}.$

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de $𝒮$ se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions $({\varphi }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge dans $𝒮({ℝ}^N)$ vers une fonction $\varphi$ si $\varphi \in 𝒮({ℝ}^N)$ et si

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝒩}_p({\varphi }_n-\varphi )=0.$

Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées ${𝒮}^{\prime }$.

Exemples

• L'espace $𝒮$ contient l'espace $𝒟$ des [[Fonction C∞ à support compact|fonctions CModèle:Exp à support compact]]. Cet espace, aussi noté $C_c^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$, est dense dans $𝒮({ℝ}^N)$ au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
• Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :

$x\mapsto x^{\alpha }{e}^{-a\Vert x{\Vert }^2}\in 𝒮$ pour tout multi-indice α et tout réel $a>0$.

• L'espace $𝒮$ est un sous-espace vectoriel des différents [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]] pour Modèle:Math. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis Modèle:Math. En effet, le complété de $𝒮$ pour la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ est l'espace ${𝒞}_0(ℝ)$ des fonctions continues nulles à l'infini.

Opérations sur l'espace de Schwartz

• L'espace $𝒮$ est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
• L'espace $𝒮$ est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de ${𝒪}_M({ℝ}^N).$ En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction $f$ de ${𝒪}_M({ℝ}^N)$, l'opérateur défini par $\varphi \mapsto f\varphi$ est continu de $𝒮({ℝ}^N)$ dans lui-même.

• La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de $𝒮$. Cet automorphisme $ℱ$ est donné parModèle:Retraitoù $\xi x=\sum _{k=1}^N{\xi }_k{x}_k.$ L'automorphisme inverse est $\overline{ℱ},$ donné parModèle:RetraitLe théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit $𝒮({ℝ}^N)$ de la structure préhilbertienne induite par $L^2({ℝ}^N)\supset 𝒮({ℝ}^N),$ la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de $𝒮({ℝ}^N)$ dans lui-même.
• La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec ${ℰ}^{\prime }$ : pour toute distribution à support compact $T\in {ℰ}^{\prime }({ℝ}^N)$ et fonction de Schwartz $\varphi \in 𝒮({ℝ}^N),$ on a

$T\ast \varphi \in 𝒮({ℝ}^N).$

• Plus généralement, on note ${𝒪}_c^{\prime }({ℝ}^N)$ l'ensemble des convoleurs de $𝒮({ℝ}^N),$ c'est-à-dire l'ensemble des distributions $T\in {𝒟}^{\prime }({ℝ}^N)$ telles que $g\mapsto g\ast T$ envoie continûment $𝒮({ℝ}^N)$ dans $𝒮({ℝ}^N).$ Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^N)$ (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle ${𝒪}_c^{\prime }({ℝ}^N)$ l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, ${𝒪}_c^{\prime }({ℝ}^N)$ est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle $𝒮({ℝ}^N)$ et ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^N)$ sont des modules unitaires.

Bibliographie

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• François Golse, Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles, École polytechnique, 2012, polycopié de cours

Liens externes

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