Fonction localement intégrable
Modèle:Ébauche En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert Modèle:Math de Modèle:Math est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de Modèle:Math est intégrable pour la mesure de Lebesgue Modèle:Math. L'espace vectoriel de ces fonctions est noté Modèle:Math et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté Modèle:Math.
Définitions équivalentes
Pour toute fonction Modèle:Math, les propriétés suivantes sont équivalentes :
- Modèle:Math est localement intégrable (au sens ci-dessus) ;
- Modèle:Math est Lebesgue-mesurable et pour tout compact Modèle:Math de Modèle:Math,
; - pour toute fonction test Modèle:Math sur Modèle:Math (c'est-à-dire toute fonction [[Fonction C∞ à support compact|CModèle:Exp à support compact]] de Modèle:Math dans ℂ), Modèle:Math est Lebesgue-intégrable ;
- Modèle:Math est Lebesgue-mesurable et pour toute fonction test Modèle:Math sur Modèle:Math,
.
Exemples
- Toute fonction intégrable est localement intégrable.
- Plus généralement, Modèle:Math(Ω) contient [[Espace Lp|Modèle:Math]] pour tout Modèle:Math[1].
- Toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable.
- La fonction Modèle:Math définie (presque partout) par Modèle:Math — qui appartient donc à Modèle:Math(ℝ*) — n'appartient pas à Modèle:Math(ℝ).
Propriété
Modèle:Math est un espace de Fréchet, pour sa structure d'espace localement convexe associée à la famille, indexée par les compacts Modèle:Math de Modèle:Math, des semi-normes Modèle:Math définies par :
Pour cette topologie, l'espace des fonctions complexes continues sur Modèle:Math, à supports compacts contenus dans Modèle:Math , est dense dans Modèle:Math.