Absolue continuité

Modèle:Homon En mathématiques, et plus précisément en analyse, on définit, pour des fonctions définies sur un intervalle borné, la notion de fonction absolument continue, un peu plus forte que la notion de fonction uniformément continue, et garantissant de bonnes propriétés d'intégration ; on lui associe d'ailleurs la notion de mesure absolument continue.

Fonction absolument continue

Motivation

Le premier théorème fondamental de l'analyse a pour conséquence que toute fonction continue Modèle:Formule sur un intervalle réel est égale à la dérivée de sa fonction intégrale Modèle:Formule (au sens de Riemann) définie par $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$. Dans le cadre plus général de l'intégrale de Lebesgue, une fonction Modèle:Formule est égale presque partout à la dérivée de son intégrale.

Par contre, une fonction Modèle:Formule continue et presque partout dérivable peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dérivée est Modèle:Formule. Considérons par exemple l'escalier de Cantor ou la fonction de Minkowski : ces deux fonctions sont presque partout dérivables, de dérivée presque partout nulle ; donc l'intégrale de leur dérivée est nulle. Ce phénomène était bien connu dans le cas de fonctions discontinues (les fonctions indicatrices par exemple) mais moins intuitif dans le cas continu, ce qui a conduit à la notion de continuité absolue : une fonction absolument continue est continue et de plus égale à l'intégrale de sa dérivée.

Définition

Soit Modèle:Formule un intervalle réel. On dit qu'une fonction Modèle:Formule est absolument continue si, pour tout réel Modèle:Formule, il existe un Modèle:Formule tel que, pour toute suite finie $([a_n,b_n]{)}_{n\le N}$ de sous-intervalles de Modèle:Formule d'intérieurs disjoints,

$\sum _{n\ge 0}(b_n-a_n)<\delta \Rightarrow \sum _{n\ge 0}|F(a_n)-F(b_n)|<\epsilon .$

Pour une fonction de plusieurs variables, il existe diverses notions de continuité absolue.

Propriétés

• Modèle:Formule est absolument continue sur Modèle:Formule si et seulement s'il existe une fonction Modèle:Formule intégrable sur Modèle:Formule (au sens de Lebesgue) telle que pour tout Modèle:Formule,$F(x)-F(a)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.$
• L'ensemble des fonctions absolument continues sur Modèle:Formule est égal à l'espace de Sobolev Modèle:Math.
• D'après le second théorème fondamental de l'analyse, si (sur Modèle:Math) Modèle:Math est dérivable partout et de dérivée intégrable, alors Modèle:Math est absolument continue.
• Si Modèle:Formule est absolument continue sur Modèle:Formule alors :
  • elle est continue ;
  • elle est à variation bornée (donc dérivable presque partout) ;
  • elle possède la propriété N de Luzin : l'image par Modèle:Formule de tout ensemble de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue) est de mesure nulle.
• Réciproquement, si Modèle:Formule est continue, à variation bornée et possède la propriété N de Luzin, alors elle est absolument continue (théorème de Banach-Zarecki).
• Le produit de deux fonctions absolument continues sur Modèle:Math est une fonction absolument continue.

Exemples et contre-exemples

Toute fonction lipschitzienne sur Modèle:Math est absolument continue.

La fonction continue qui a pour graphe l'escalier du diable n'est pas absolument continue : l'image de l'ensemble de Cantor, qui est de mesure nulle, est Modèle:Formule tout entier.

La fonction point d'interrogation n'est pas non plus absolument continue puisque de dérivée nulle presque partout. On peut également démontrer qu'elle envoie un ensemble de mesure 0 sur un ensemble de mesure 1.

Mesure absolument continue

Soient Modèle:Formule et Modèle:Formule deux mesures complexes sur un espace mesurable $(X,𝒜)$.

On dit que Modèle:Formule est absolument continue par rapport à Modèle:Formule si pour tout ensemble mesurable Modèle:Formule :

$\mu (A)=0\Rightarrow \nu (A)=0,$

ce que l'on note $\nu \ll \mu$.

Le théorème de Radon-Nikodym donne une autre caractérisation dans le cas où Modèle:Formule est positive et [[mesure sigma-finie|Modèle:Formule-finie]], et Modèle:Formule est complexe et Modèle:Formule-finie : il existe alors Modèle:Formule une fonction mesurable telle que Modèle:Formule. La fonction Modèle:Formule est appelée densité de la mesure Modèle:Formule par rapport à la mesure Modèle:Formule.

Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue

Une fonction Modèle:Formule est localement absolument continue si et seulement si sa distribution dérivée est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, une mesure Modèle:Formule bornée sur l'ensemble des boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction de répartition associée

$F:x\mapsto \mu (]-\mathrm{\infty },x])$

est localement une fonction absolument continue.

Voir aussi

Article connexe

Théorème de différentiation de Lebesgue